3．情感.态度与价值观在学习过程中.学会整合知识.提升自我学习的品质.养成合作.交流.创新的良好学习品质.——青夏教育精英家教网—

3．情感、态度与价值观

在学习过程中，学会整合知识，提升自我学习的品质，养成合作、交流、创新的良好学习品质.

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2．过程与方法

通过学生自我回顾、反思、整理、归纳所学知识，从而构建本节的知识体系.

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1．知识与技能.

整合函数模型及其应用的基本知识与基本方法. 进一步提升研究函数和应用函数解决实际应用问题的技能.

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教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

回顾反思构建体系

1．函数与方程单元知识网络

2．知识梳理

①二次函数的零点与一元二次方程根的关系

对于二次函数f (x) = ax²+ bx + c (a≠0)，当f (x) = 0时，就是一元二次方程ax²+ bx + c = 0，因此，二次函数f (x) = ax² + bx + c (a≠0)的零点就是一元二次方程ax²+ bx + c = 0的根；也即二次函数f (x) = ax²+ bx + c的图象--抛物线与x轴相交时，交点的横坐标就是一元二次方程ax² + bx + c = 0的根.

②函数的零点的理解

(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零.

(2)根据函数零点定义可知，函数f (x)的零点就是f (x) = 0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x) = 0是否有实根，有几个实根.

③函数零点的判定

判断一个函数是否有零点，首先看函数f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在f (a)·f (b)＜0，若满足，那么函数y = f (x)在区间(a，b)内必有零点.

④用二分法求方程的近似解要注意以下问题：

(1)要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束.

(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大.

(3)在二分法的第四步，由|a – b|＜，便可判断零点近似值为a或b.

⑤用二分法求曲线的近似交点应注意以下几点：

(1)曲线的交点坐标是方程组的解，最终转化为求方程的根；

(2)求曲线y = f (x)和y = g(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数y = f (x) – g (x)的零点，即求方程f (x) – g (x) = 0的实数解.

1．师生合作，绘制单元知识网络图

2．学生回顾口述知识要点，老师总结、归纳，师生共同进行知识疏理.

整理知识，培养归纳能力；师生共同回顾、再现知识与方法.

经典例题剖析

　
例1　利用计算器，求方程2^x + 2x – 5 = 0的近似解. (精确到0.1)

　
例2 确定函数f (x) =+ x – 4 的零点个数.

例3(1)试说明方程2x³– 6x²+3 = 0有3个实数解，并求出全部解的和(精确到0.01)

(2)探究方程2x³– 6x²+5 = 0，方程2x³– 6x²+8 = 0全部解的和，你由此可以得到什么结论？

1．学生自主完成例1、例2、例3，求解学生代表板书解答过程，老师点评，总结.
例1[解析]设f (x) = 2^x + 2x – 5，由于函数在R上是增函数，所以函数f (x)在R上至多一个零点.
∵f (1) = –1＜0，f (2) = 3＞0，
∴f (1) f (2)＜0，
∴函数f (x) = 2^x + 2x – 5在(1, 2)内有一个零点，则二分法逐次计算，列表如下：

取区间	中点值	中点函数值
(1, 2)	1.5	0.83(正数)
(1, 1, 5)	1.25	–0.12(负数)
(1.25, 1.5)	1.375	0.34(正数)
(1.25, 1.375)	1.3125	0.11(正数)
(1.25, 1.3125)

∵|1.3125 – 1.25| = 0.0625＜0.1，

∴函数f (x)的零点近似值为1.3125.

∴方程2^x + 2x – 5 = 0的近似解是1.3125.

例2[解析]设，则f (x)的零点个数即y₁与y₂的交点个数，作出两函数图象如图.

由图知，y₁与y₂在区间(0, 1)内有一个交点，

当x = 4时，y₁ = –2，y₂ = 0，

当x = 8时，y₁ = –3，y₂ = – 4，

∴在(4, 8)内两曲线又有一个交点，又和y₂ = x – 4均为单调函数.

∴两曲线只有两个交点，

即函数有两个零点.

例3[解析](1)设函数 f (x) =2x³– 6x²+3，

∵f (–1) = –5＜0，f (0) = 3＞0，f (1) = –1＜0，

f (2) = –5＜0，f (3) = 3＞0，函数y = f (x)的图象是连续的曲线，∴方程2x³– 6x²+3 = 0有3个实数解．

首先以区间[–1，0]为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：

端点或中点的横坐标

a₀ = –1，b₀ = 0

x₀= (–1+0) / 2 = – 0.5

x₁= (–1– 0.5) /2 = – 0.75

x₂= (– 0.75 – 0.5) / 2= – 0.625

x₃= (– 0.75 – 0.625) / 2= – 0.687 5

x₄= (– 0.687 5 – 0.625) / 2= – 0.656 25

x₅= (– 0.656 25 – 0.625) / 2= – 0.640 625

x₆= (– 0.656 25 – 0.640 625) / 2
= – 0.648 437 5

x₇= – 0.644 531 25

计算端点或中点的函数值	定区间
f (–1) = –5，f (0) =3	[–1，0]
f (x₀) = f (– 0.5)　 = 1.25＞0	[–1，–0.5]
f (x₁) = f (– 0.75)＜0	[– 0.75，–0.5]
f (x₂) = f (– 0.625)＞0	[– 0.75，–0.625]
f (x₃) = f (– 0.687 5)＜0	[– 0.687 5，–0.625]
f (x₄) = f (– 0.656 25)＜0	[– 0.656 25，–0.625]
f (x₅) = f (– 0.640 625)＞0	[– 0.656 25，–0.640 625]
f (x₆) = f (– 0.648 437 25)＜0	[– 0.648 437 5，–0.640 625]
f (x₇)＜0	[– 0.644 531 25，–0.640 625]

由上表计算可知，区间[– 0.64453125，– 0.640625]的左、右两端点精确到0.01所取的近似值都是 – 0.64，所以– 0.64可以作为方程2x³– 6x²+3 = 0在区间[–1，0]上的一个近似解．

同理可求得方程2x³– 6x²+3 = 0在区间[0，1]和[2，3]内且精确到0.01的近似解分别为0.83，2.81．所以方程2x³– 6x²+3 = 0全部解的和为– 0.64 + 0.83 + 2.81 = 3．

(2)利用同样方法可求得方程2x³– 6x²+5 = 0和方程2x³– 6x²+8 = 0全部解的和也为3．

由于3只与未知数的系数比相等，即 – (– 6÷2) = 3，所以猜想：

一般地，对于一元三次方程ax³+ bx³+ cx +d = 0有三个根x_l，x₂，x₃，则和为x₁ +x₂ +x₃ =．

动手尝试练习提升综合应用知识的能力.

备选例题

例1　求函数y = x³ – 2x² – x + 2的零点，并画出它的图象.

[解析]因为x³ – 2x – x + 2 = x²(x – 2) – (x – 2) = (x – 2) (x² – 1) = (x – 2) (x – 1) (x + 1)，

所以已知函数的零点为–1，1，2.

3个零点把x轴分成4个区间：

，[–1，1]，[1，2]，.

在这4个区间内，取x的一些值(包括零点)，列出这个函数的对应值表：

x	…	–1.5	–1	–0.5	0	0.5	1	1.5	2	2.5	…
y	…	– 4.38	0	1.88	2	1.13	0	–0.63	0	2.63	…

在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.

例2 求函数f (x) = x³ + x² – 2x – 2的一个为正实数的零点(误差不超过0.1).

[解析]由于f (1) = –2＜0，f (2) = 6＞0，可以取区间[1，2]作为计算的初始区间.

用二分法逐次计算，列表如下：

端点(中点)坐标	计算中点的函数值	取区间	\|a_n – b_n\|
		[1，2]	1
x₀= (1 + 2)/2 = 1.5	f(x₀)=0.625＞0	[1，1.5]	0.5
x₁= (1 + 1.5)/2 = 1.25	f(x₁)= –0.984＜0	[1.25，1.5]	0.25
x₂=(1.25+1.5)/2 =1.375	f(x₂)= –0.260＜0	[1.375，1.5]	0.125
x₃=(1.375+1.5)/2=1.438