5．“稳态速度”类问题中的平衡

[例10](2003年江苏)当物体从高空下落时，空气阻力随速度的增大而增大，因此经过一段距离后将匀速下落，这个速度称为此物体下落的稳态速度。已知球形物体速度不大时所受的空气阻力正比于速度v，且正比于球半径r，即阻力f=krv，k是比例系数。对于常温下的空气，比例系数k=3.4×10^-4Ns/m²。已知水的密度kg/m³，重力加速度为m/s²。求半径r=0.10mm的球形雨滴在无风情况下的稳态速度。(结果保留两位有效数字)

解析：雨滴下落时受两个力作用：重力，方向向下；空气阻力，方向向上。当雨滴达到稳态速度后，加速度为0，二力平衡，用m表示雨滴质量，有mg-krv=0，，求得，v=1.2m/s。

点评：此题的关键就是雨滴达到“稳态速度”时，处于平衡状态。找到此条件，题目就可以迎刃而解了。

4．整体法与隔离法的应用

[例8] 有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙， OB竖直向下，表面光滑。AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡(如图所示)。现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力F_N和摩擦力f的变化情况是

A．F_N不变，f变大　　 B．F_N不变，f变小　　 C．F_N变大，f变大　　 D．F_N变大，f变小

解：以两环和细绳整体为对象求F_N，可知竖直方向上始终二力平衡，F_N=2mg不变；以Q环为对象，在重力、细绳拉力F和OB压力N作用下平衡，设细绳和竖直方向的夹角为α，则P环向左移的过程中α将减小，N=mgtanα也将减小。再以整体为对象，水平方向只有OB对Q的压力N和OA 对P环的摩擦力f作用，因此f=N也减小。答案选B。

点评：正确选取研究对象，可以使复杂的问题简单化，整体法是力学中经常用到的一种方法。

[例9]如图1所示，甲、乙两个带电小球的质量均为m，所带电量分别为q和-q，两球间用绝缘细线连接，甲球又用绝缘细线悬挂在天花板上，在两球所在的空间有方向向左的匀强电场，电场强度为E，平衡时细线都被拉紧．

(1)平衡时可能位置是图1中的( )

(2)1、2两根绝缘细线的拉力大小分别为( )

A．，　　 B．，

C．，　　 D．，

解析：(1)若完全用隔离法分析，那么很难通过对甲球的分析来确定上边细绳的位置，好像A、B、C都是可能的，只有D不可能．用整体法分析，把两个小球看作一个整体，此整体受到的外力为竖直向下的重力2mg，水平向左的电场力qE(甲受到的)、水平向右的电场力qE(乙受到的)和上边细绳的拉力；两电场力相互抵消，则绳1的拉力一定与重力(2mg)等大反向，即绳1一定竖直，显然只有A、D可能对．

再用隔离法，分析乙球受力的情况．乙球受到向下的重力mg，水平向右的电场力qE，绳2的拉力F₂，甲对乙的吸引力F_引．要使得乙球平衡，绳2必须倾斜，如图2所示．故应选A．

(2)由上面用整体法的分析，绳1对甲的拉力F₁=2mg．由乙球的受力图可知

因此有应选D

点评：若研究对象由多个物体组成，首先考虑运用整体法，这样受力情况比较简单，在本题中，马上可以判断绳子1是竖直的；但整体法并不能求出系统内物体间的相互作用力，故此时需要使用隔离法，所以整体法和隔离法常常交替使用．

3．平衡问题中的极值分析

[例6]跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和物体B，物体A放在倾角为θ的斜面上(如图l-4－3(甲)所示)，已知物体A的质量为m ，物体A与斜面的动摩擦因数为μ(μ<tanθ)，滑轮的摩擦不计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质量的取值范围。

解析：先选物体B为研究对象，它受到重力m_Bg和拉力T的作用，根据平衡条件有：

T=m_Bg　　　　 ①

再选物体A为研究对象，它受到重力mg、斜面支持力N、轻绳拉力T和斜面的摩擦力作用，假设物体A处于将要上滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下，这时A的受力情况如图(乙)所示，根据平衡条件有：

N-mgcosθ＝0　　　　 ②

T-f_m- mgsinθ＝0　 ③

由摩擦力公式知：f_m=μN　　　　 ④

以上四式联立解得m_B=m(sinθ+μcosθ)

再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有：

N-mgcosθ=0　　　 ⑤

T+f_m- mgsinθ=0　 ⑥

由摩擦力公式知：f_m=μN　　　　 ⑦

①⑤⑥⑦四式联立解得m_B=m(sinθ-μcosθ)

综上所述，物体B的质量的取值范围是：m(sinθ-μcosθ)≤m_B≤m(sinθ+μcosθ)

[例7] 用与竖直方向成α=30°斜向右上方，大小为F的推力把一个重量为G的木块压在粗糙竖直墙上保持静止。求墙对木块的正压力大小N和墙对木块的摩擦力大小f。

解：从分析木块受力知，重力为G，竖直向下，推力F与竖直成30°斜向右上方，墙对木块的弹力大小跟F的水平分力平衡，所以N=F/2，墙对木块的摩擦力是静摩擦力，其大小和方向由F的竖直分力和重力大小的关系而决定：

当时，f=0；当时，，方向竖直向下；当时，，方向竖直向上。

点评：静摩擦力是被动力，其大小和方向均随外力的改变而改变，因此，在解决这类问题时，思维要灵活，思考要全面。否则，很容易造成漏解或错解。

2．动态平衡类问题的分析方法

[例4] 重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F₁、F₂各如何变化？　　　　　　　　　　　

解：由于挡板是缓慢转动的，可以认为每个时刻小球都处于静止状态，因此所受合力为零。应用三角形定则，G、F₁、F₂三个矢量应组成封闭三角形，其中G的大小、方向始终保持不变；F₁的方向不变；F₂的起点在G的终点处，而终点必须在F₁所在的直线上，由作图可知，挡板逆时针转动90°过程，F₂矢量也逆时针转动90°，因此F₁逐渐变小，F₂先变小后变大。(当F₂⊥F₁，即挡板与斜面垂直时，F₂最小)

点评：力的图解法是解决动态平衡类问题的常用分析方法。这种方法的优点是形象直观。

[例5]如图7所示整个装置静止时，绳与竖直方向的夹角为30º。AB连线与OB垂直。若使带电小球A的电量加倍，带电小球B重新稳定时绳的拉力多大？

[解析]小球A电量加倍后，球B仍受重力G、绳的拉力T、库伦力F，但三力的方向已不再具有特殊的几何关系。若用正交分解法，设角度，列方程，很难有结果。此时应改变思路，并比较两个平衡状态之间有无必然联系。于是变正交分解为力的合成，注意观察，不难发现：AOB与FBT′围成的三角形相似，则有：AO/G=OB/T。说明系统处于不同的平衡状态时，拉力T大小不变。由球A电量未加倍时这一特殊状态可以得到：T=Gcos30º。球A电量加倍平衡后，绳的拉力仍是Gcos30º。

点评：相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。

1．静平衡问题的分析方法

[例3](2003年理综)如图甲所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m₁和m₂的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m₁的小球与O点的连线与水平线的夹角为α=60°。两小球的质量比为

A．　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

点评：此题设计巧妙，考查分析综合能力和运用数学处理物理问题的能力，要求考生对于给出的具体事例，选择小球m₁为对象，分析它处于平衡状态，再用几何图形处理问题，从而得出结论。

解析：小球受重力m₁g、绳拉力F₂=m₂g和支持力F₁的作用而平衡。如图乙所示，由平衡条件得，F₁= F₂，，得。故选项A正确。

4．解题方法

当物体在两个共点力作用下平衡时，这两个力一定等值反向；当物体在三个共点力作用下平衡时，往往采用平行四边形定则或三角形定则；当物体在四个或四个以上共点力作用下平衡时，往往采用正交分解法。

[例1](1)下列哪组力作用在物体上，有可能使物体处于平衡状态

A．3N，4N，8N　　　　　　　　　　 B．3N，5N，1N

C．4N，7N，8N　　　　　　　　　　 D．7N，9N，6N

(2)用手施水平力将物体压在竖直墙壁上，在物体始终保持静止的情况下

A．压力加大，物体受的静摩擦力也加大

B．压力减小，物体受的静摩擦力也减小

C．物体所受静摩擦力为定值，与压力大小无关

D．不论物体的压力改变与否，它受到的静摩擦力总等于重力

(3)如下图所示，木块在水平桌面上，受水平力F₁ =10N，F₂ =3N而静止，当撤去F₁后，木块仍静止，则此时木块受的合力为

A．0　　　　　　　　　 B．水平向右，3N

C．水平向左，7N　　　 D．水平向右，7N

解析：(1)CD　 在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零，即F_合＝0。只有CD两个选项中的三个力合力为零。

(2)CD?物体始终保持静止，即是指物体一直处于平衡状态，则据共点力作用下物体的平衡条件有

对物体受力分析，如下图

可得F = F_N ，F_f = G

(3)A　 撤去F₁后，木块仍静止，则此时木块仍处于平衡状态，故木块受的合力为0．

[例2]氢气球重10 N，空气对它的浮力为16 N，用绳拴住，由于受水平风力作用，绳子与竖直方向成30°角，则绳子的拉力大小是__________，水平风力的大小是________.　

解析：气球受到四个力的作用：重力G、浮力F₁、水平风力F₂和绳的拉力F₃，如图所示由平衡条件可得

F₁=G+F₃cos30°

F₂=F₃sin30°

解得　　　 F₃=N　　 F₁=2N　

答案：4N　 2N

3．判定定理

物体在三个互不平行的力的作用下处于平衡，则这三个力必为共点力。(表示这三个力的矢量首尾相接，恰能组成一个封闭三角形)

2．共点力的平衡条件

在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零，即F_合＝0或F_x合＝0，F_y合＝0

1．共点力

几个力作用于物体的同一点，或它们的作用线交于同一点(该点不一定在物体上)，这几个力叫共点力。

物体的平衡有两种情况：一是质点静止或做匀速直线运动，物体的加速度为零；二是物体不转动或匀速转动(此时的物体不能看作质点)。

点评：对于共点力作用下物体的平衡，不要认为只有静止才是平衡状态，匀速直线运动也是物体的平衡状态．因此，静止的物体一定平衡，但平衡的物体不一定静止．还需注意，不要把速度为零和静止状态相混淆，静止状态是物体在一段时间内保持速度为零不变，其加速度为零，而物体速度为零可能是物体静止，也可能是物体做变速运动中的一个状态，加速度不为零。由此可见，静止的物体速度一定为零，但速度为零的物体不一定静止．因此，静止的物体一定处于平衡状态，但速度为零的物体不一定处于静止状态。

总之，共点力作用下的物体只要物体的加速度为零，它一定处于平衡状态，只要物体的加速度不为零，它一定处于非平衡状态。