3、(2005天津)设函数的反函数是,则使成立的x的取值范围为 ( )
A.B. C. D.
[填空题]
2、(2006辽宁)与方程的曲线关于直线对称的曲线的方程为 ( )
(A) (B)
(C) (D)
1.(2005江苏卷)函数的反函数的解析表达式为( )
(A) (B)
(C) (D)
3、互为反函数性质及图象间的关系--
同步练习 2.8反函数
[选择题]
2、求反函数的步骤--
1、反函数定义--
[例1]求下列函数的反函数:
(1);(2);
(3);
解:(1)由得,
∴,
∴所求函数的反函数为;
(2)当时,,当时,
得,
∴所求函数的反函数为
(3)由得,
∴,
∴所求反函数为.
提炼方法:1.求反函数的步骤:
2.分段函数的反函数要分段求. 并注意原函数在每段上的值域.
[例2]已知函数f(x)=的图象关于直线y=x对称,求实数m.
解:∵f(x)的图象关于直线y=x对称,又点(5,0)在f(x)的图象上,∴点(0,5)也在f(x)的图象上,即-=5,得m=-1.
法二:由,有反函数。由于f(x)的图象关于y=x对称,与f -1(x)相同,比较系数得m=-1.
提炼方法:法1.找一特殊点(5,0)的对称点在图象上;
法2.f(x) 与f -1(x)相同,比较系数.
[例3]已知函数f(x)=2(-)(a>0,且a≠1).
(1)求反函数y=f-1(x);
(2)判定f-1(x)的奇偶性;
(3)解不等式f-1(x)>1.
解:(1)化简,得f(x)=.
设y=,则ax=.∴x=loga.
∴所求反函数为
y=f-1(x)=loga(-1<x<1).
(2)∵f-1(-x)=loga=loga()-1=-loga=-f-1(x),
∴f-1(x)是奇函数.
(3)loga>1.
当a>1时,
原不等式>a<0.
∴<x<1.
当0<a<1时,原不等式
解得
∴-1<x<.
综上,当a>1时,所求不等式的解集为(,1);
当0<a<1时,所求不等式的解集为(-1,).
[研究.欣赏]
已知函数f(x)是函数y=-1(x∈R)的反函数,函数g(x)的图象与函数y=的图象关于直线y=x-1成轴对称图形,记F(x)=f(x)+g(x).
(1)求F(x)的解析式及定义域.
(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在这样两个不同点A、B,使直线AB恰好与y轴垂直?若存在,求出A、B两点坐标;若不存在,说明理由.
解:(1)由y=-1(x∈R),得10x=,x=lg.∴f(x)=lg(-1<x<1).
设P(x,y)是g(x)图象上的任意一点,则P关于直线y=x-1的对称点P′的坐标为(1+y,x-1).由题设知点P′(1+y,x-1)在函数y=的图象上,∴x-1=.
∴y=,即g(x)=(x≠-2).
∴F(x)=f(x)+g(x)=lg+,其定义域为{x|-1<x<1}.
(2)∵f(x)=lg=lg(-1+)(-1<x<1)是减函数,g(x)=(-1<x<1)也是减函数,∴F(x)在(-1,1)上是减函数.
故不存在这样两个不同点A、B,使直线AB恰好与y轴垂直.
点评:本题是一道综合题,解决第(2)小题常用的方法是反证法,但本题巧用单调性法使问题变得简单明了.
6、y=f(x+a)+b与y=f -1(x+a)+b是y=f(x)与y=f -1(x)按向量(-a,b)平移而得,所以对称轴也跟着平移,变为y=x+a+b
5、由得;
3、设
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