1、设A={a,b},集合B={a+1,5},若A∩B={2},则A∪B= ( )
A.{1,2} B.{1,5} C.{2,5} D.{1,2,5}
10.已知函数f(x)=()2(x>1).
(1)求f(x)的反函数f-1(x);
(2)判定f-1(x)在其定义域内的单调性;
(3)若不等式(1-)f-1(x)>a(a-
)对x∈[
,
]恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)由y=()2,得x=
.
又y=(1-)2,且x>1,∴0<y<1.
∴f-1(x)=(0<x<1).
(2)设0<x1<x2<1,则-
<0,1-
>0,1-
>0.
∴f-1(x1)-f-1(x2)=<0,即f-1(x1)<f-1(x2).
∴f-1(x)在(0,1)上是增函数.
(3)由题设有(1-)
>a(a-
).
∴1+>a2-a
,即(1+a)
+1-a2>0对x∈[
,
]恒成立.显然a≠-1.令t=
,∵x∈[
,
],∴t∈[
,
]则g(t)=(1+a)t+1-a2>0对t∈[
,
]恒成立.
由于g(t)=(1+a)t+1-a2是关于t的一次函数,∴g()>0且g(
)>0,即
解得-1<a<
.
10、已知,是
上的奇函数
(1)求的值,
(2)求的反函数,
(3)对任意的解不等式
解:(1)由题知,得
,此时
,
即为奇函数
(2)∵,得
,
∴
(3)∵,
∴,∴
,
①当时,原不等式的解集
,
②当时,原不等式的解集
[探索题]
9、已知函数f(x)=a+bx-1(b>0,b≠1)的图象经过点(1,3),函数f-1(x+a)(a>0)的图象经过点(4,2),试求函数f-1(x)的表达式.
解:∵函数f(x)=a+bx-1(b>0,b≠1)的图象经过点(1,3),∴a+b0=3,a=3-b0=
3-1=2.又函数f-1(x+a)(a>0)的图象经过点(4,2),∴f-1(4+a)=2.
∴f(2)=4+a=4+2=6,即2+b2-1=6.∴b=4.
故f(x)=2+4x-1.再求其反函数即得
f-1(x)=log4(x-2)+1(x>2).
8、设函数,又函数
与
的图象关于
对称,求
的值
解法一:由得
,∴
,
,
∴与
互为反函数,由
,得
解法二:由得
,∴
,
∴
7、 求函数f(x)=的反函数.
解:当x≤-1时,y=x2+1≥2,且有x=-,此时反函数为y=-
(x≥2).
当x>-1时,y=-x+1<2,且有x=-y+1,此时反函数为y=-x+1(x<2).
∴f(x)的反函数f-1(x)=
点评:分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域,分段函数的反函数也是分段函数.
6、由y-1=f(2x-1) 得2x-1=f -1(y-1), ,互换x,y即得反函数。
[解答题]
6、已知函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),函数y=f(2x-1)+1的反函数为
简答:1-3:AAB;
4、a=1;5、2;6、
提示:4、点(0,1)在原函数图象上,则(1,0)也在原函数图象上,代入得a=1;
5、已知函数,其反函数
的图象的对称中心是
, 则实数
=
4、若函数y=(x≠-
,x∈R)的图象关于直线y=x对称,则a的值为______.
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