5.(北师大版第60页B组第1题)三角函数图像
函数一个周期的图像如图所示,试确定A,的值.
变式1:已知简谐运动的图象经过点,则该简谐运动的最小正周期和初相分别为( )
A., B.,
C., D.,
答案选A
变式2:函数在区间的简图是( )
答案选A
变式3:如图,函数
的图象与轴交于点,且在该点处切线的斜率为.
求和的值.
解:将,代入函数得:
,
因为,所以.
又因为,,,所以,
因此.
4.(北师大版第60页A组第4题)三角函数图像变换
将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像?
变式1:将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像?
解:(1)先将函数图象上各点的纵坐标扩大为原来的2倍(横坐标不变),即可得到函数的图象;
(2)再将函数上各点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数的图象;
(3)再将函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象.
变式2:将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像?
解:(1)先将函数图象上各点的纵坐标缩小为原来的(横坐标不变),即可得到函数的图象;
(2)再将函数上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象;
(3)再将函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象.
变式3:将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像?
解:
另解:
(1)先将函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象;
(2)再将函数上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象;
(3)再将函数图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变),即可得到函数的图象.
3.(北师大版第69页练习2第2题)解三角形的实际应用
某观察站B在城A的南偏西的方向,由A出发的一条公路走向是南偏东,在B处测得公路上距B31km的C处有一人正沿公路向A城走去,走了20km之后到达D处,此时B,D间的距离为21km。这个人要走多少路才能到达A城?
变式1:如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向
相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船
立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30,
相距10海里C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少
度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1)?
解析:连接BC,由余弦定理得:
BC2=202+102-2×20×10COS120°=700.
即BC=10
∵,
∴sin∠ACB=,
∵∠ACB<90°,∴.
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.
变式2:如图,测量河对岸的塔高时,可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得,并在点测得塔顶的仰角为,求塔高.
解:在中,.
由正弦定理得:.
所以.
在中,.
变式3:如图,甲船以每小时海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,当甲船航行分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?
解法一:如图,连结,由已知,
,
,
又,
是等边三角形,
,
由已知,,
,
在中,由余弦定理,得:
.
.
因此,乙船的速度的大小为(海里/小时).
答:乙船每小时航行海里.
解法二:如图,连结,由已知,,,
,
.
在中,由余弦定理,
.
.
由正弦定理,得:
,
,即,
.
在中,由已知,由余弦定理,得:
.
,
乙船的速度的大小为海里/小时.
答:乙船每小时航行海里.
2.(北师大版第63页A组第6题)三角形中的几何计算
在中,,,的平分线交过点且与平行的线于点.求的面积.
变式1:已知的周长为,且.
(I)求边的长;
(II)若的面积为,求角的度数.
解:(I)由题意及正弦定理,得,
,
两式相减,得.
(II)由的面积,得,
由余弦定理,得
,
所以.
变式2:△ABC中,则△ABC的周长为( ).
A. B.
C. D.
解:在中,由正弦定理得:化简得:AC=
,化简得:AB=,
所以三角形△ABC的周长为:3+AC+AB=3++
=3+
故选D
变式3:在,求(1)(2)若点
解:(1)由得:
,
由正弦定理知: ,
(2),
由余弦定理知:
1.(北师大版第59页A组第2题)正弦定理与余弦定理
在中,若 ,则.
A. B. C. D.
变式1:在中,若 ,,,则__________.
答案:1或3
变式2:在中,若 ,,,则此三角形的周长为__________.
答案:
变式3:已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边,S是△ABC的面积.若a=4,b=5,S=5,求c的长度.
解:∵S=absinC,∴sinC=,于是∠C=60°或∠C=120°
又∵c2=a2+b2-2abcosC,
当∠C=60°时,c2=a2+b2-ab,c=
当∠C=120°时,c2=a2+b2+ab,c=
∴c的长度为或
(人教版第121页 例1)
题目意图:用平面向量的方法证明平面几何命题:平行四边形两条对角线的平方和等于其两条邻边的平方和的两倍
变式1:如图,矩形ABCD内接于半径为r的圆O,点P是圆周上任意一点,
求证:PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.
证明: ,
,
,
,
以上各式相加可证.
变式2:已知△ABC中,,若,求证:△ABC为正三角形.
证明:, ∴, 又∵, ,
故 , 知a=b, 同理可知b=c , 故a=b=c , 得证.
变式3:已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E,O是任意一点,求证.
[证明] ∵E是对角线AC与BD的交点,∴.
在△OAC中,,
同理有.
四式相加可得:.
变式4:四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F,
求证:
[证法一] ∵E、F分别为DA、BC的中点.
∴
又∵=0①
=0②
①+②,得2=0
∴2
∴
[证法二] 连结EC,EB
∵,①
②
①+②,得2+0=,
∴
又∵③
④
③+④,得
又∵=0,
∴.
2.(人教版第119页 第11题)
已知a = (4,2),求与向量a 垂直的单位向量的坐标.
变式1:若i = (1,0), j =(0,1),则与2i+3j垂直的向量是 ( )
A.3i+2j B.-2i+3j C.-3i+2j D.2i-3j
正确答案:选C
变式2:已知向量,,若与垂直,则实数=( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
正确答案:选B
变式3:若非零向量互相垂直,则下列各式中一定成立的是 ( )
A. B.
C. D.
正确答案:选B
变式4:已知向量a=(3,-4),b=(2,x), c=(2,y)且a∥b,ac.求|b-c|的值.
解:∵ a∥b,∴ 3x+8=0. ∴x=. ∴ b=(2, ) .
∵ ac, ∴ 6-4y=0. ∴ y=. ∴ c=(2, ).
而b-c =(2,)-(2,)=(0,-),
∴ |b-c|=.
(人教版第118页例5)
已知A (1,2),B (2,3),C (,5),试判断的形状,并给出证明.
变式1:是所在的平面内的一点,且满足,则 一定为( )
A.正三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.斜三角形
正确答案:选C
变式2:已知A、B、C三点不共线,O是△ABC内的一点,若++=0,
则O是△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D. 外心
正确答案:选A
变式3:已知,则△ABC一定是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
正确答案:选B
变式4:四边形中,
(1)若,试求与满足的关系式;
(2)满足(1)的同时又有,求的值及四边形的面积。
解:
(1) 则有
化简得:
(2)
又 则
化简有:
联立
解得 或
则四边形为对角线互相垂直的梯形
当
此时
当
此时
2.(人教版第116页例4)
已知|a|=3,|b| =4且a与b不共线,k为何实数时,向量a + kb 与ab互相垂直?
变式1:已知a⊥b ,|a|=2,|b| =3,且向量3a + 2b与kab互相垂直,则k的值为( )
A. B. C. D.1
正确答案:选B
变式2:已知|a|=1,|b| =且(a-b)⊥a,则a与b夹角的大小为 45º .
解:
5.(人教版第116页例3)
已知|a|=6,|b| =4且a与b的夹角为,求 (a + 2b)·(ab) .
变式1:已知那么与夹角为
A、 B、 C、 D、
正确答案:选C
变式2:已知向量a和b的夹角为60°,| a | = 3,| b | = 4,则(2a – b)·a等于
(A)15 (B)12 (C)6 (D)3
正确答案:选B
变式3:在△ABC中,已知||=4,||=1,S△ABC=,则·等于( )
A.-2 B.2 C.±2 D.±4
正确答案:选C
变式4:设向量与向量的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
解:∵,故,
解之 .
另有,解之,
∴.
2.(人教版第110页例8)
设点P是线段上的一点,、的坐标分别为,.
(1) 当点P是线段上的中点时,求点P的坐标;
(2) 当点P是线段的一个三等分点时,求P的坐标
变式1:已知两点,,,则P点坐标是 ( )
A. B. C. D.
正确答案:选B
变式2:如图,设点P、Q是线段AB的三等分点,
若=a,=b,则= ,
= (用a、b表示)
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