3、全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示

三讲解范例：

例1(1)若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，求C_SA

　　　　 (2)若A={0}，求证：C_NA=N^*

(3)求证：C_RQ是无理数集

解(1)∵S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，

∴由补集的定义得C_SA={2，4，6}

　　　　 证明(2)∵A={0}，N={0,1,2,3,4,…}，N^*={1,2,3,4,…}

∴由补集的定义得C_NA=N^*

　　　　 证明(3)∵ Q是有理数集合，R是实数集合

　　　　　　　　 ∴由补集的定义得C_RQ是无理数集合

　　　 例2已知全集U＝R，集合A＝{x｜1≤2x+1＜9}，求CA

　　解：∵A＝{x｜1≤2x+1＜9}＝{x|0≤X＜4}，U＝R

　　　　　0　　　　　4　　　　　x

∴CA＝{x｜x＜0，或x≥4}

例3 已知S＝{x｜－1≤x+2＜8}，A＝{x｜－2＜1－x≤1}，

B＝{x｜5＜2x－1＜11}，讨论A与CB的关系

解：∵S＝{x|－3≤x＜6}，A＝{x|0≤x＜3}， B＝{x|3≤x＜6}

∴CB＝{x|－3≤x＜3}

∴ACB

　全集与补集

1 补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即)，

由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A

的补集(或余集)，记作，即

C_SA=

2、性质：C_S(C_SA)=A ，C_SS=，C_S=S

(1)子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一

个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集

合B，或集合B包含集合A

记作: ，AB或BA　

读作：A包含于B或B包含A

　　　　　 当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记

作AB或BA

注：有两种可能

(1)A是B的一部分，；(2)A与B是同一集合

(2)集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B

(3)真子集：对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：AB或BA, 读作A真包含于B或B真包含A

(4)子集与真子集符号的方向

(5)空集是任何集合的子集ΦA

空集是任何非空集合的真子集ΦA　 若A≠Φ，则ΦA

任何一个集合是它本身的子集

(6)易混符号

①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如ΦR，{1}{1，2，3}

②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合

　　　 如 Φ{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}

(7)含n个元素的集合的所有子集的个数是，所有真

　 子集的个数是-1，非空真子集数为

390. 已知α∩β=C，a∥b,aα,bβ,Aa,AE⊥b于E，AF⊥c于F，求证：a⊥EF

解析：b∥a,b,aα, ∴b∥α

又bβ，α∩β=c　 ∴b∥c, 又AF⊥c ∴AF⊥b

　　 又AE⊥b, AE∩AF=A　 ∴b⊥平面AEF 　a∥b　 ∴a⊥平面AEF

EF平面AEF　 ∴a⊥EF

389. 设P点在正三角形ABC所在平面外，且AP，BP，CP两两垂直；又是的重心；为上一点，；为上一点，；，如图

(1)求证：GF⊥平面PBC；(2)求证：EF⊥BC。

解析：(1)连结BG并延长交PA于M.G为△ABP的重心

注　 要充分注意平面几何中的知识(如本题中三角形重心性质，等腰三角形性质等)在证题中的运用。

388. 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD是边长等于2cm的等边三角形，底面ABCD是面积为2cm²的菱形，∠ADC是锐角.

求证：PA⊥CD

证明：设∠ADC=θ，则：由S_ABCD=2, CD=BC=AB=AD=2，易得θ=60°

∴△ACD是等边三角形，取CD中点E连AE、PE，则AE⊥CD，PE⊥CD

AE⊥CD，PE⊥CD　 ∴CD⊥平面PAE　　 ∴CD⊥PA

387. 如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．

(1)　　　　　 求证：MN⊥CD；

(2)　　　　　 若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD．

证明　(1)连AC∩BD＝O，连NO，MO，则NO∥PA．

∵PA⊥平面ABCD，∴NO⊥平面ABCD．

∵MO⊥AB，∴MN⊥AB，而CD∥AB，∴MN⊥CD；

(2)∵∠PDA＝45°，∴PA＝AD，

由△PAM≌△CBM得PM＝CM，

∵N为PC中点，∴MN⊥PC．

又MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD．

386. P是边长为a的六边形ABCDEF所成平面外一点，PA⊥AB，PA⊥AF，PA＝a，则点P到边CD的距离是　　　

解析：2a．

PA⊥平面ABCDEF，A到CD的距离为，∴P到边CD的距离是2a

385. △ABC在平面α内，∠C＝90°，点Pα，PA=PB=PC=7, AB=10, 则点P到平面α的距离等于　　　

解析：．

∵PA＝PB＝PC,∴P在平面α内的射影为△ABC的外心O，∵∠C＝90°，∴O为AB的中点，∵AO＝5，PA＝7，∴PO＝

384. 直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，直角顶点C在平面α外，C在平面α内的射影为C₁，且C₁AB，则△C₁AB为　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　(　 )

(A)锐角三角形　　　　　　　　 (B)直角三角形

(C)钝角三角形　　　　　　　　 (D)以上都不对

解析：(C)

∵C₁A²+C₁B²<CA²+CB² ＝AB, ∴∠AC₁B为钝角，则△C₁AB为钝角三角形．