3.下列函数中,最小正周期是,且图象关于直线
对称的是( B )
A. B.
C.
D.
2.函数的最小值和最大值分别为( C )
A.,
B.
,
C.
,
D.
,
例1.已知在中,
,记
.
(1)若的面积S满足
,求
的取值范围;
(2)若,求
的最大边长的最小值.
解:(1),
,
,
,
.
(2)若,则
,则其所对的边
最长,由余弦定理
;
当且仅当时取等号,
,
的最大边长的最小值为
.
例2.已知△ABC的周长为6,成等比数列.
(Ⅰ)求△ABC的面积S的最大值;(Ⅱ)求的取值范围.
解:设依次为a,b,c,则a+b+c=6,b²=ac,
由余弦定理得, 故有
,
又从而
(Ⅰ),即
(Ⅱ)
变式:
已知向量a,向量b
,若
a ·b +1 .
(I)求函数的解析式和最小正周期; (II) 若
,求
的最大值和最小值。
解:(I)∵a, b
,
∴a ·b+1
.∴函数
的最小正周期
.
(II) ,∴
. ∴
,
;
,
.
反馈练习:
1.已知,则
的值是( C )
A. B.
C.
D.
例1. 在△ABC中,,
,
分别是角A,B,C的对边,且
(I)求角A的大小;(II) 若=
,
+
=3,求
和
的值。
解:(I)在△ABC中有B+C=π-A,由条件可得4[1-cos(B+C)] -4cos2A+2=7
∵cos(B+C)= -cosA ∴4cos2A-4cosA+1=0 解得
(II)由
例2. 已知在中,三条边
所对的角分别为
,向量
,
且满足
。
(1)求角的大小;(2)若
成等比数列,且
,求
的值。
解:(1)∵,
,
;
∴;∴
∴;∴
;又
为
的内角;∴
;
(2)∵成等比数列,∴
,
由正弦定理知:;又且
,即
,
∴;∴
;∴
;∴
变式:
已知A、B、C是的三个内角,a,b,c为其对应边,向量
(Ⅰ)求角A;(Ⅱ)若
解:(Ⅰ)
(Ⅱ)由正弦定理,得
故
.
、C为
的内角,
又
为正三角形。
例1.函数的图象为C, 如下结论中正确的是__①②③_. (写出所有正确结论的编号)
①图象C关于直线对称;②图象C关于点
对称;
③函数)内是增函数;④由
的图象向右平移
个单位可以得到图象C。
例2. 已知函数
(1)求函数的最小正周期和最值;
(2)指出图像经过怎样的平移变换后得到的图像关于原点对称。
解:(1)最小正周期
,
的最大值为
,最小值为
(2)
变式:
已知函数(
)的最小正周期为
.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)画函数f(x)在区间[0,]上的图象;
(3)将函数图象按向量
平移后所得的图象关于原点对称,求向量
的坐标(一个即可).
解:(1) 由周期为
得
,故
由得
,所以函数
的增区间为
Z
x |
0 |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
y |
![]() |
2 |
1 |
0 |
1 |
![]() |
(2)如下表:
图象如下:
(3)
例1.已知,
,且
.
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求
.
解:(Ⅰ)由,
,得
.
∴.于是
.
(Ⅱ)由,得
.又∵
,
∴.由
,得
∴
.
变式:
已知向量,且
(Ⅰ)求tanA的值;(Ⅱ)求函数R)的值域
解:(Ⅰ)由题意得m·n=sinA-2cosA=0,因为cosA≠0,所以tanA=2。
(Ⅱ)由tanA=2得
因为xR,所以
,当
时,f(x)有最大值
;
当sinx=-1时,f(x)有最小值-3,所以所求函数f(x)的值域是
三角函数是高中数学中一种重要的初等函数,是高考数学的一个必考内容,它与代数、几何、平面向量等知识有着密切的联系,其工具性在高考中更进一步得以体现。透析近年高考试题,其趋势为:考小题多重基础,属中、低档题型.主要考察三角函数的基本概念,即:两域(定义域、值域),四性(奇偶性、单调性、周期性、对称性),简单的三角变换(求值、化简)。三角函数的图像、性质及其变换是近年的热点,图像变换已成为“五点法”作图后的另一个热点,与平面向量结合已成为新的考查方向;考大题稳中有降,大题以解答题出现,考查思维能力的难题逐步淡化,而是以考查基础知识与基本技能为主,难度在“较易”到“中等”的程度。
16.已知函数
(Ⅰ)将函数化简成
的形式,并指出
的周期;
(Ⅱ)求函数上的最大值和最小值。
15.已知函数(
)的最小正周期为
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求函数
在区间
上的取值范围
14. 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,求:
(Ⅰ)A的大小;(Ⅱ)的值.
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