75. 设P、Q是单位正方体AC₁的面AA₁D₁D、面A₁B₁C₁D₁的中心。

　 　　　　　　　　　 如图：(1)证明：PQ∥平面AA₁B₁B；

　　　　　　　　　 (2)求线段PQ的长。(12分)

评注：本题提供了两种解法，方法一，通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”；方法二，通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”。本题证法较多。

74. 已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.

(1)求证：MN⊥CD；

(2)若∠PDA=45°，求证MN⊥面PCD.(12分)

解析：

71. 球面上有三个点A、B、C. A和B，A和C间的球面距离等于大圆周长的. B和C间的球面距离等于大圆周长的.如果球的半径是R，那么球心到截面ABC的距离等于 　　 　解析：本题考查球面距离的概念及空间想像能力.

　　 如图所示，圆O是球的大圆，且大圆所在平面与面ABC垂直，其中弦EF是过A、B、C的小圆的直径，弦心距OD就是球心O到截面ABC的距离，OE是球的半径，因此，欲求OD，需先求出截面圆ABC的半径.

　 下一个图是过A、B、C的小圆.AB、AC、CB是每两点之间的直线段.它们的长度要分别在△AOB、△AOC、△COB中求得(O是球心).由于A、B间球面距离是大圆周长的，所以∠AOB=×2π=，同理∠AOC=，∠BOC=.　

∴|AB|=R， |AC|=R， |BC|=. 　　 在△ABC中，由于AB²+AC²=BC². 　　 ∴∠BAC=90°,BC是小圆ABC的直径. 　　 ∴|ED|= 　　 从而|OD|=. 　　 故应选B. 72. 如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，该图中，互相垂直的面有 　 A.4对 　 B.5对　 C.6对 　 D.7对 　答案(D) 　解析：要找到一个好的工作方法，使得计数时不至于产生遗漏 73. ABCD是各条棱长都相等的三棱锥.M是△ABC的垂心，那么AB和DM所成的角等于______ 　

解析：90°连CM交AB于N，连DN，易知N是AB中点，AB⊥CN，AB⊥DN.

70. 将边长为1的正方形ABCD，沿对角线AC折起，使BD=.则三棱锥D-ABC的体积为

　　解析：设AC、BD交于O点，则BO⊥AC 　　 且DO⊥AC，在折起后，这个垂直关系不变，因此∠BOD是二面角B-AC-D的平面角. 由于△DOB中三边长已知，所以可求出∠BOD： 　　 　　　　　　　　　　　　　　

　　 这是问题的一方面，另一方面为了求体积，应求出高，这个高实际上是△DOB中，OB边上的高DE，理由是： 　　 　　 ∵DE⊥OB 　　 ∴DE⊥面ABC.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 由cos∠DOB=，知sin∠DOE= 　　 ∴DE= 　　 ∴ 　　 应选(B)

69. 如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，E、F分别是AD、DD₁的中点，则面EFC₁B和面BCC₁所成二面角的正切值等于 　　 解析：为了作出二面角E-BC₁-C的平面角，需在一个面内取一点，过该点向另一个面引垂线(这是用三垂线定理作二面角的平面角的关键步骤)。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

从图形特点看，应当过E(或F)作面BCC₁的垂线. 解析：过E作EH⊥BC，垂足为H. 过H作HG⊥BC₁，垂足为G.连EG. ∵面ABCD⊥面BCC₁，而EH⊥BC ∵EH⊥面BEC₁， EG是面BCC₁的斜线，HG是斜线EG在面BCC₁内的射影. ∵HG⊥BC₁，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 ∴EG⊥BC_1， 　　 ∴∠EGH是二面角E-BC₁-C的平面角。 　　 在Rt△BCC₁中：sin∠C₁BC== 　　 在Rt△BHG中：sin∠C₁BC= 　　 ∴HG=(设底面边长为1).

　　 而EH=1， 　　 在Rt△EHG中：tg∠EGH= 　　 ∴∠EGH=arctg 　　 故二面角E-BC₁-C 等于arctg.　

68. m和n是分别在两个互相垂直的面α、β内的两条直线，α与β交于l，m和n与l既不垂直，也不平行，那么m和n的位置关系是 　　 A.可能垂直，但不可能平行 　　 B.可能平行，但不可能垂直 　　 C.可能垂直，也可能平行 　　 D.既不可能垂直，也不可能平行

解析：这种结构的题目，常常这样处理，先假设某位置关系成立，在此基础上进行推理，若无矛盾，且推理过程可逆，就肯定这个假设；若有矛盾，就否定这个假设。 　　 设m//n,由于m在β外，n在β内， 　　 ∴m//β 　　 而α过m与β交于l 　　 ∴m//l，这与已知矛盾， 　　 ∴m不平行n. 　　 设m⊥n，在β内作直线α⊥l, 　　 ∵α⊥β, 　　 ∴a⊥α, 　　 ∴m⊥a. 　　 又由于n和a共面且相交(若a//n 则n⊥l，与已知矛盾) 　　 ∴m⊥β, 　　 ∴m⊥l与已知矛盾， 　　 ∴m和n不能垂直. 　　 综上所述，应选(D).

67.　 直线a是平面α的斜线，b在平α内，已知a与b成60°的角，且b与a在平α内的射影成45°角时，a与α所成的角是( 　　)

A.45°　　　　　　　　　　　　 B.60°

C.90°　　　　　　　　　　　　 D.135°

解A

66.　 空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点，EF＝√3，则AD,BC所成的角为(　　　 )

A.30°　　　　　　　　　　　　 B.60°

C.90°　　　　　　　　　　　　 D.120°

解B注：考察异面直线所成角的概念，范围及求法，需注意的是，异面直线所成的角不能是钝角，而利用平行关系构造可求解的三角形，可能是钝角三角形，望大家注意。同时求角的大小是先证明再求解这一基本过程。

65..如图，空间四边形ABCD的各边及对角线长都是1，点M在边AB上运动、点Q在边CD上运动，则P、Q的最短距离为(　　　 )

解析：B

当M,N分别为中点时。

因为AB, CD为异面直线，所以M, N的最短距离就是异面直线AB,CD的距离为最短。连接BN,AN则CD⊥BN,CD⊥AN且AN=BN,所以NM⊥AB。同理，连接CM,MD可得MN⊥CD。所以MN为AB,CD的公垂线。因为AN=BN＝所以在RT△BMN中，MN＝求异面直线的距离通常利用定义来求，它包括两个步骤:先证一条线段同时与两异面直线相交垂直；再利用数量关系求解。在做综合题时往往大家只重视第二步，而忽略第一步。

64.异面直线a、b，a⊥b，c与a成30°角，则c与b成角的范围是　　　　　　　　　　　　　　　　

(　　　 )

A. 　　　　　　　　　　　　　B.

C. 　　　　　　　　　　　　　D.

解A 直线c在位置c2时,它与b成角的最大值为90°,直线c在c1位置时,它与b成角的最小值是60°