(二)求指数复合函数定义域、值域:
3.求下列函数的定义域、值域:
⑴ ⑵
⑶
.
分析:此题要利用指数函数的定义域、值域,并结合指数函数的图象.注意向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围.
解(1)由x-1≠0得x≠1
所以,所求函数定义域为{x|x≠1}
由
,得y≠1 所以,所求函数值域为{y|y>0且y≠1}
说明:对于值域的求解,在向学生解释时,可以令,考察指数函数y=
,并结合图象直观地得到,以下两题可作类似处理.
(2)由5x-1≥0得.
所以,所求函数定义域为{x|
}.
由 ≥0得y≥1, 所以,所求函数值域为{y|y≥1}.
(3)所求函数定义域为R. 由>0可得(
+1)>1. 所以,所求函数值域为{y|y>1}.
(4)定义域为R,值域为{y|y>1}.
通过此例题的训练,学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域,还应注意书写步骤与格式的规范性.
练习: 求下列函数的定义域、值域:
;
;
;
.
答案:(1) {y|y>0且y≠1};(2) {y|y>1};(3) {y|0<y≤256};(4) {y|y≥1}.
(一) 运用指数函数单调性比较大小:
1.将下列各数值按从小到大的顺序排列
解:.
又,
.
2.
;
;
;
,
.
的图象和性质
|
a>1 |
0<a<1 |
图 象 |
![]() |
![]() |
性 质 |
定义域:R |
|
值域:(0,+∞) |
||
过点(0,1),即x=0时,y=1 |
||
在
R上是增函数 |
在R上是减函数 |
<习案> 作业十九
2. 指数函数图象的变换.
1. 指数复合函数的单调性;
(三) 实际问题:
例1.某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%,画出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩量留是原来的一半(结果保留1个有效数字).
分析:通过恰当假设,将剩留量y表示成经过年数x的函数,并可列表、描点、作图,进而求得所求.
解:设这种物质量初的质量是1,经过x年,剩留量是y.
经过1年,剩留量y=1×84%=;
经过2年,剩留量y=0.84×84%=;
……
一般地,经过x年,剩留量 y=0.84
根据这个函数关系式可以列表如下:
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
y |
1 |
0.84 |
0.71 |
0.59 |
0.50 |
0.42 |
0.35 |
用描点法画出指数函数y=0.84x的图象.从图上看出y=0.5只需x≈4.
答:约经过4年,剩留量是原来的一半.
评述:指数函数图象的应用;数形结合思想的体现.
(一)指数函数图象的变换:
1.说明下列函数图象与指数函数的图象关系,并画出它们的图象:
;
;
解:⑴作出图像,显示出函数数据表
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
![]() |
0.125 |
0.25 |
0.5 |
1 |
2 |
4 |
8 |
![]() |
0.25 |
0.5 |
1 |
2 |
4 |
8 |
16 |
![]() |
0.5 |
1 |
2 |
4 |
8 |
16 |
32 |
比较函数、
与
的关系:
将指数函数y=的图象向左平行移动1个单位长度,就得到函数y=
的图象,
将指数函数y=的图象向左平行移动2个单位长度,就得到函数y=
的图象.
2.作出、
图像,显示出函数数据表
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
![]() |
0.125 |
0.25 |
0.5 |
1 |
2 |
4 |
8 |
![]() |
0.0625 |
0.125 |
0.25 |
0.5 |
1 |
2 |
4 |
![]() |
0.03125 |
0.0625 |
0.125 |
0.25 |
0.5 |
1 |
2 |
比较函数、
与
的关系:
将指数函数的图象向右平行移动1个单位长度,就得到函数
的图象,
将指数函数的图象向右平行移动2个单位长度,就得到函数
的图象.
3.作出;
的图像(略).比较函数与
的关系。
小结:
的图象向左平移a个单位得到
图象;
向右平移a个单位得到图象;
向上平移a个单位得到图象;
向下平移a个单位得到图象.
4.作出的图象,并指出它的单调区间.
解: 定义域:xÎR 值域:
单调增区间是(-∞,0],单调减区间是(0,+∞).
小结:将的图像y轴右侧的部分翻折到y轴左侧得到的完整图像是
的图像,
关于y轴对称.
3.下列函数中,值域为(0,+)的函数是( )
A.
B.
C.
D.
2、函数恒过定点
。
A.(1,5) B.(1,4) C.(0,4) D.(4,0)
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