1.对数函数的定义:
函数叫做对数函数,对数函数
的定义域为
,值域为
.
2. 《学案》P.88~ P.89.
3.互为反函数的两个函数具有相同的增减性.
2.互为反函数的函数图象间关系;
1.反函数的定义;求反函数的步骤.
5.(备选题).
解:由已知可知,的反函数是它的本身,即
.
由得
所以
恒成立.
比较对应系数得
4.(备选题)利用互为反函数的图像的性质求参数
解:由已知得:,即
, 故m、n的值分别是-3、7.
例1.求下列函数的反函数:
①;
②
.
解:①由解得
∴函数的反函数是
,
②由解得x=
,
∴函数的反函数是
小结:求反函数的一般步骤分三步,一解、二换、三注明.
例2. 函数的反函数的图象经过点(1,4),求
的值.
[解析]根据反函数的概念,知函数
的反函数的图象经过点(4,1),
∴,
∴
.
[小结]若函数的图象经过点
,则其反函数的图象经过点
.
例3.已知函数,求
的值.
解:方法一:∵ ∴
由
解得:
∴为原函数的反函数, ∴
=4.
方法二:由反函数的定义得:, 解得:x=4, 即
=4.
练习1.求下列函数的反函数:
(1)y=(x∈R), (2)y=
(x∈R), (3)y=
(x∈R),
(4)y=(x∈R), (5)y=lgx(x>0),
(6)y=2
x(x>0)
(7)y=(2x)(a>0,且a≠1,x>0) (8)y=
(a>0,a≠1,x>0)
解:(1)所求反函数为:y=x(x>0), (2)所求反函数为:y=
x(x>0)
(3)所求反函数为:y= (x>0), (4)所求反函数为:y=
(x>0)
(5)所求反函数为:y= (x∈R), (6)所求反函数为:y=
=
(x∈R)?
(7)所求反函数为:y=(a>0,且a≠1,x∈R)?
(8)所求反函数为:y=2(a>0,且a≠1,x∈R)
练习2.函数y=的图象与函数
的图象关于(D )
A.轴对称 B.
轴对称
C. 原点对称 D.
直线对称
3.(备选题)求函数的值域.
解:∵ ∴
∴ y≠
∴函数的值域为{y|y≠
}
1.反函数的定义
一般地,设函数的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y把x表示出,得到x=
(y). 若对于y在C中的任何一个值,通过x=
(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x=
(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数x=
(y) (y
C)叫做函数
的反函数,记作
,习惯上改写成
开始的两个例子:s=vt记为,则它的反函数就可以写为
,同样
记为
,则它的反函数为:
.
探讨1:所有函数都有反函数吗?为什么?
反函数也是函数,因为它符合函数的定义,从反函数的定义可知,对于任意一个函数来说,不一定有反函数,如
,只有“一一对应”确定的函数才有反函数,
,
有反函数是
探讨2:互为反函数定义域、值域的关系
|
函数![]() |
反函数![]() |
定义域 |
A |
C |
值 域 |
C |
A |
探讨3:的反函数是什么?
若函数有反函数
,那么函数
的反函数就是
,
这就是说,函数与
互为反函数
探讨4:探究互为反函数的函数的图像关系
观察讨论函数、反函数的图像,归纳结论:
(1)函数的图象和它的反函数
的图象关于直线
对称.
(2)互为反函数的两个函数具有相同的增减性.
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