9. (2006山东)设函数,其中,求f(x)的单调区间.
解:由已知得函数f(x)的定义域为,且
(1)当时,f′(x)<0函数f(x)在上单调递减,
(2)当时,由f′(x)=0解得
若,则f′(x)<0函数f(x)在上单调递减.
若则,f′(x)>0函数f(x)在上单调递增.
综上所述:
当时,函数f(x)在(-1,+∞)上单调递减.
当时,函数f(x)在上单调递减,函数f(x)在上单调递增.
8. (2005北京)
已知函数f(x)= -x3+3x2+9x+a
(Ⅰ)求f(x)的单调减区间;
(Ⅱ)若f(x)在区间[-2,2].上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
解:(I)f′(x)= -3x2+6x+9 令f′(x)<0,解得x<-1或x>3
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞)
(II)因为
所以
因为在(-1,3)上,所以f(x)在[-1,2]上单调递增,又由于f(x)在
[-2,-1]上单调递减,因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和
最小值.
于是有22+a=20,解得a=-2
故f(x)= -x3+3x2+9x-2 因此f(-1)=1+3-9-2=-7
即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.
7.(2006北京)
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5,其导函数y=f′(x)的图象经过点(0,1),(2,0),如图所示.求:
(Ⅰ)x0的值;
(Ⅱ)a,b,c的值.
解法一:
(Ⅰ)由图像可知,在(-∞,1)上f′(x)>0,在(1,2)上f′(x)<0,在(2,+∞)上f′(x)>0
故f(x)在(-∞,1), (2,+∞)上递增,在(1,2) 上递减,
因此f(x)在处取得极大值,所以
(Ⅱ)
由f′(1)=0, f′(2)=0, f(1)=5
得
解得a=2, b= -9, c=12.
解法二:
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)设
又
所以
由f(1)=5,即得m=6
所以a=2,b=-9,c=12
5. (0,2);6. 最大值是,最小值是-
[解答题]
3. 解析:F(x)=f[g(x)]=x4-4x2+6,(x)=4x3-8x,
令(x)>0,得-<x<0或x>,
∴F(x)在(-,0)上递增
1. (x)=3x2-a在[1,+∞)上,(x)≥0恒成立,即a≤3x2在[1,+∞)上恒成立,∴a≤3.
6.函数f(x)=sin2x-x,(-≤x≤)的最大值是 ,最小值是 。
简答提示:1-4:DACC ;
5.函数的单调增区间是
4.函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数
A.(,) B.(π,2π)
C.(, ) D.(2π,3π)
[填空题]
2.(2006天津)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )
A.1个 B.2个
C.3个 D. 4个
3已知f(x)=(x-1)2+2,g(x)=x2-1,则f[g(x)]
A.在(-2,0)上递增 B.在(0,2)上递增
C.在(-,0)上递增 D.在(0,)上递增
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