67、(黄家中学高08级十二月月考)设函数R.
(1)若处取得极值,求常数a的值;
(2)若上为增函数,求a的取值范围.
[解]:(Ⅰ)
因取得极值, 所以
解得
经检验知当为极值点.
(Ⅱ)令
当和
上为增函数,
故当上为增函数.
当上为增函数,
从而上也为增函数.
综上所述,当上为增函数.
66、(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)(1)已知函数m(x)=ax2e-x (a>0), 求证: 函数y=m(x)在区间[2,+∞)上为减函数.
(2) 已知函数f(x)=ax2+2ax, g(x)=ex, 若在(0, +∞)上至少存在一点x0, 使得f(x0)>g(x0)成立, 求实数a的取值范围.
解:(1) m '(x)= axe-x(2-x), 而ax>0, ∴当x>2时, m '(x)<0, 因此m(x)在[2,+∞)上为减函数.
(2)记m(x)=, 则m'(x)=(-ax2+2a)e-x,
当x>时, m '(x)<0 当0<x<时, m '(x)>0
故m(x)在x=时取最大值,同时也为最大值. m(x)max=m()=
依题意, 要在(0,+∞)上存在一点x0, 使f(x0)>g(x0)成立. 即使m(x0)>1只需m()>1
即>1 ∴
, 因此, 所求实数a的取值范围为(
,
+∞)
65、(湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)已知函数.
(Ⅰ)若函数f(x)在其定义域内为单调函数,求a的取值范围;
(Ⅱ)若函数f(x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0,且,已知a1 = 4,求证:an ³ 2n + 2;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试比较与
的大小,并说明你的理由.
解:(1),
.
要使函数f(x)在定义域内为单调函数,则在
内
恒大于0或恒小于0,
当在
内恒成立;
当要使
恒成立,则
,解得
,
当恒成立,
所以的取值范围为
.
根据题意得:,
于是,
用数学归纳法证明如下:
当,不等式成立;
假设当时,不等式
成立,即
也成立,
当时,
,
所以当,不等式也成立,
综上得对所有时,都有
.
(3) 由(2)得,
于是,
所以,
累乘得:,
所以.
64、(湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试)已知函数在区间(1,2 ]上是增函数,
在区间(0,1)上为减函数.
(Ⅰ)试求函数的解析式;
(Ⅱ)当 x >0时,讨论方程解的个数.
解: (Ⅰ)在
恒成立,
所以,
.
又在
恒成立,
所以 ,
.
…………………………………4分
从而有.
故,
.
…………………………6分
(Ⅱ)令,
则
所以在
上是减函数,在
上是增函数,
……………………9分
从而当时,
.
所以方程在
只有一个解
. ……………………12分
63、(湖北省随州市2008年高三五月模拟)函数是偶函数。
⑴求实数的值;
⑵比较的大小;
⑶求函数在区间
上的最大值
。
62、(湖北省荆州市2008届高中毕业班质量检测)设函数
⑴求的单调区间;
⑵若关于的方程
在区间
上恰有两个相异实根,求实数
的取值范围。
解:⑴定义域为,因为
所以,当或
时,
当或
时,
故的单调递增区间是
和
的单调递减区间是
和
(6分)
(注:和
处写成“闭的”亦可)
⑵由得:
,
令,则
或
所以≤
时,
≤
时,
故在
上递减,在
上递增
(8分)
要使在
恰有两相异实根,则必须且只需
即
61、(湖北省荆门市2008届上期末)设函数相切于点(1,-11)。
(1)求a,b的值;
(2)讨论函数的单调性。
解:(1)求导得 ………………2分
由于相切与点(1,-11),
所以 ………………5分
解得 ………………6分
(2)由
令
所以当是增函数, ………………8分
当也是增函数; ………………10分
当是减函数。
60、(湖北省荆门市2008届上期末)已知函数.
(1)求函数在
上的最大值、最小值;
(2)求证:在区间上,函数
的图象在函数
的图象的下方;
(3)求证:≥
N*).
解:(1)∵f¢ (x)=∴当xÎ
时,f¢ (x)>0, ∴
在
上是增函数
故,
. ……………………4分
(2)设,则
,
∵时,∴
,故
在
上是减函数.
又,故在
上,
,即
,
∴函数的图象在函数
的图象的下方. ……………………8分
(3)∵x>0,∴,当
时,不等式显然成立;
当≥
时,有
≥
∴≥
N*)
59、(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)若函数
(Ⅰ)求函数的单调区间
(Ⅱ)若对所有的成立,求实数a的取值范围.
解:(1)的定义域为
…………12分
…………2分
①当…………3分
②时
…………4分
…………5分
综上:
单调递减区间为
的单调递增区间(0,+
) …………6分
(2) …………7分
…………8分
则 …………9分
…………10分
…………11分
…………12分
另解:
…………7分
…………8分
单增 …………9分
①当
…………11分
②当
不成立 …………12分
综上所述
58、(湖北省三校联合体高2008届2月测试)对于函数,若存在
,使
成立,则称
为
的不动点。如果函数
有且仅有两个不动点
、
,且
。
(1)试求函数的单调区间;
(2)已知各项不为零的数列满足
,求证:
;
(3)设,
为数列
的前
项和,求证:
。
(1)设
∴
∴
由
又∵ ∴
∴ …… 3分
于是
由得
或
; 由
得
或
故函数的单调递增区间为
和
,
单调减区间为和
……4分
(2)由已知可得, 当
时,
两式相减得
∴或
当时,
,若
,则
这与
矛盾
∴ ∴
……6分
于是,待证不等式即为。
为此,我们考虑证明不等式
令则
,
再令,
由
知
∴当时,
单调递增 ∴
于是
即
①
令,
由
知
∴当时,
单调递增 ∴
于是
即
②
由①、②可知
……10分
所以,,即
……11分
(3)由(2)可知 则
在中令
,并将各式相加得
即
……14分
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com