0  380957  380965  380971  380975  380981  380983  380987  380993  380995  381001  381007  381011  381013  381017  381023  381025  381031  381035  381037  381041  381043  381047  381049  381051  381052  381053  381055  381056  381057  381059  381061  381065  381067  381071  381073  381077  381083  381085  381091  381095  381097  381101  381107  381113  381115  381121  381125  381127  381133  381137  381143  381151  447090 

77、(山东省济南市2008年2月高三统考)已知定义在正实数集上的函数,其中。设两曲线有公共点,且在公共点处的切线相同。

(1)若,求的值;

(2)用表示,并求的最大值。

解:(1)设在公共点处的切线相同

                      1分

由题意知   ,∴

得,,或(舍去)            4分

即有                            5分

(2)设在公共点处的切线相同

由题意知   ,∴

得,,或(舍去)          7分

即有            8分

,则,于是

,即时,

,即时,              10分

的最大值为,故的最大值为    12分

试题详情

76、(宁夏区银川一中2008届第六次月考)已知函数f(x)=ex­–kx,xR

  (1)若k=e,试确定函数f(x)的单调区间。

  (2)若k>0,且对于任意xR,f(|x|)>0恒成立,试确定实数k的取值范围

  (3)设函数F(x)=f(x)+f(-x),求证:  F(1)F(2)…F(n)=

解:(1)由K=e得f(x)=ex-ex, 所以f’(x)=ex-e. 由f’(x)>0得x>1,故f(x)的单调增区间

为(1,+∞),由f’(x)<0得x<1,故f(x)的单调递减区间为(-∞,1)(3分)

  (2)由f(|x|)>0对任意x∈R成立等价于f(x)>0对任意x≥0成立。由f’(x)=ex-k=0得x=lnk. 

①当k∈(0,1) 时 ,f’(x)=ex-k ≥1-k≥0(x>0),此时f(x)在(0,+∞上单调递增,

故f(x)≥f(0)=1>),符合题意。②当k∈(1,+∞)时,lnk>0,当X变化时,f’(x)、f(x)的变化情况

如下表:

X
(0,lnk)
lnk
(lnk,+ ∞)
f’(x)

0
+
f(x)
单调递减
极小值
单调递增

 

由此可得,在(0,+∞)上f(x)≥f(lnk)=k-lnk.依题意,k-klnk>0,又k>1,所以1<k<e.综上所述,实数k的取值范围是0<k<e.  (8分)

   (3)因为F(x)=f(x)+f(-x)=ex+e-x,所以F(x1)F(x2)=

,

所以F(1)F(n)>en+1+2,F(2)F(n-1)>en+1+2

   ……F(n)F(1)>en+1+2.  

由此得,[F(1)F(2)…F(n)]2=[F(1)F(n)][F(2)F(n-1)]…[F(n)F(1)]>(en+1+2)n

故F(1)F(2)…F(n)>(en+1+2) ,n∈N*   (12分)

试题详情

75、(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)设函数

(1)求函数的单调区间和极值

(2)若当时,恒有,试确定的取值范围

解:(1) f(x)的导函数f ¢(x)=-x2+4ax-3a2 =-(x-2a)2+a2  ……………2分

∵f ¢(x)在区间(0,1)上存在反函数

∴ 2a≤0或2a≥1 …………………4分

又∵0<a<1

∴a的取值范围是 ≤a<1   …………………6分

(2)由| f ¢(x) | ≤a,得 -a≤-x2+4ax-3a2≤a

∵a+1>2a,∴f ¢(x)在[ a+1 , a+2 ]上是减函数。…………………8分

∴f ¢(x)max = f ¢(a+1)=2a-1………………………9分

f ¢(x)min = f ¢(a+2)=4a-4………………10分

∴解得  ≤a<1  ………………12分

试题详情

74、(江苏省盐城市2008届高三六校联考)已知函数(b,c,d∈R且都为常数)的导函数f(1)=7,设

(1)当a<2时,的极小值;

(2)若对任意都有成立,求a的取值范围;

(3)在(2)的条件下比较的大小.

(1)

∴2b=4  c=0   ∴b=2  c=0

f(1)=7    d=4     ∴f(x)=x3+2x2+4 ……………………………………2分

F(x)=f(x)-ax2=x3+(2-a)x2+4

   x1=0    x2=-

a<2    ∴x1>x2

故由

F(x)在上单调增在上单调减

x=0时F(x)取得极小值为F(0)=4 ………………………………………………5分

(2)F(x)≥0恒成立  当x∈[0,+∞)时F(x)最小值≥0

①当2-a>0即a<2时由(1)知F(x)min=F(0)=4>0符合题意 ………………………7分

②若2-a≤0,即a≥2时,由(1)知x1<x2

∴当x∈[0,+∞)时,F(x)min=

a≤5   ∴2≤a≤5

综上所述  a≤5  ……………………………………………………………………10分

(3) ……………………12分

a≤5   ∴   6-a≥1

(等号在a=5时成立)  …………………………………14分

试题详情

73、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)函数在区间(0,+∞)内可导,导函数是减函数,且是曲线在点()处的切线方程,并设函数

  (1)用表示m;

  (2)证明:当

  (3)是否存在实数a,使得若关于的不等式上恒成立?若存在,求出a的范围,若不存在说明理由。

解:(1)                     5′

  (2)证明:令

     因为递减,所以递增,因此,当

     当.所以唯一的极值点,且是极小值点,可知

最小值为0,因此              11′

   (3)是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立.

    对任意成立的充要条件是

                                  14′

   令,于是对任意成立的充要条件是

    由

   当时,,所以,当时,取最小值.因此成立的充要条件是,即           17′

   综上所述,当1≤a≤不等式成立.     18′

试题详情

72、(江苏省泰兴市2007-2008学年第一学期高三调研)设常数,函数.

(1)令,求的最小值,并比较的最小值与零的大小;

(2)求证:上是增函数;

(3)求证:当时,恒有

解(Ⅰ)∵

     ∴

                         ……2分

,令,得,      ……4分

列表如下:

x
(0,2)
2
(2,+∞)
g'(x)

0
+
g(x)

极小值g(2)

处取得极小值

的最小值为.        ……6分

,∴,又

.                     ……8分

证明(Ⅱ)由(Ⅰ)知,的最小值是正数,

∴对一切,恒有,      ……10分

从而当时,恒有,            ……11分

上是增函数.            ……12分

证明(Ⅲ)由(Ⅱ)知:上是增函数,

   ∴当时,,              ……13分

   又,            ……14分

,即,        ……15分

故当时,恒有.        ……16分

试题详情

71、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)设三次函数处取得极值,其图象在处的切线的斜率为

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)若函数在区间上单调递增,求的取值范围;

(Ⅲ)问是否存在实数(是与无关的常数),当时,恒有恒成立?若存在,试求出的最小值;若不存在,请说明理由。

解:(Ⅰ)方法一、 .由题设,得

 ②

,∴,∴

由①代入②得,∴

代入中,得

由③、④得

方法二、同上可得:将(1)变为:代入(2)可得:,所以,则

方法三:同上可得:将(1)变为:代入(2)可得:,显然,所以

因为图象的开口向下,且有一根为x1=1

由韦达定理得,

,所以,即,则,由得:

所以:

方法四:由得:,由此可知

(Ⅱ)由(1)知,的判别式Δ=

∴方程有两个不等的实根

,∴

∴当时,,当时,

∴函数的单调增区间是,∴,由

∵函数在区间上单调递增,∴,∴,即的取值范围是

(Ⅲ)由,即,∵,∴,∴。由题意,得,∴,∴存在实数满足条件,即的最小值为

试题详情

70、(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)已知函数(a>0,且a≠1),其中为常数.如果 是增函数,且存在零点(的导函数).

(Ⅰ)求a的值;

(Ⅱ)设A(x1y1)、B(x2y2)(x1<x2)是函数yg(x)的图象上两点,(的导函数),证明:

解:(Ⅰ)因为

所以. …………………………………………3分

因为h(x)在区间上是增函数,

所以在区间上恒成立.

若0<a<1,则lna<0,于是恒成立.

存在正零点,故△=(-2lna)2-4lna=0,lna=0,或lna=1与lna<0矛盾.

所以a>1.

恒成立,又存在正零点,故△=(-2lna)2-4lna=0,

所以lna=1,即a=e. ……………………………………………………………………7分

(Ⅱ)由(Ⅰ),,于是.…………………………9分

以下证明.    (※)

(※)等价于. ……………………………………………11分

r(x)=xlnx2xlnxx2+x,…………………………………………………………13分

r ′(x)=lnx2-lnx,在(0,x2]上,r′(x)>0,所以r(x)在(0,x2]上为增函数.

x1<x2时,r(x1)< r(x2)=0,即

从而得到证明.……………………………………………………………………15分

对于同理可证……………………………………………………………16分

所以

评讲建议:

此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识.评讲时注意着重导数在研究函数中的应用.本题的第一小题是常规题比较容易,第二小题是以数学分析中的中值定理为背景,作辅助函数,利用导数来研究函数的性质,是近几年高考的热点.第二小题还可以这样证明:

要证明,只要证明>1,令,作函数h(x)=t-1-lnt,下略.

试题详情

69、(江苏省常州市北郊中学2008届高三第一次模拟检测)已知函数

  (1)求函数的单调区间;

  (2)若≤0恒成立,试确定实数k的取值范围;

  (3)证明:

解:(1)函数的定义域为(0,+)

(2分)

当k>0时,,所以函数的单调递增区间为(0,)单调递减区是为

当k=0时,不等式恒成立,所以函数是单调递增区间为(0,+)

当k<0时,因为x>0,所以不等式恒成立,所以函数是单调递增区间为(0,+)

综上所述,当k>0时,函数的单调递增区间为(0,),单调递减区间为[,+);当k≤0时,函数的单调递增区间为(0,+)。(5分)

(2)由(1)知k≤时,函数是增函数,而,不成立,所以k>0,由(1)可得恒成立,只需

所以所以k≥1(9分)

(3)由(2)可得当k=1时,lnx≤x-1在(0,+)上恒成立。

ln2≤1 ln3≤2  ln4≤3  ……

 以上各式左右两边分别相加得

≤1+2+3+…+n= 

试题详情

68、(吉林省实验中学2008届高三年级第五次模拟考试)已知函数,设

(Ⅰ)求F(x)的单调区间;

(Ⅱ)若以图象上任意一点为切点的切线的斜率 恒成立,求实数的最小值。

(Ⅲ)是否存在实数,使得函数的图象与的图象恰好有四个不同的交点?若存在,求出的取值范围,若不存在,说名理由。

解.(Ⅰ)   

 

(Ⅱ)

   当

   …………………………………………4分

(Ⅲ)若的图象与

的图象恰有四个不同交点,

有四个不同的根,亦即

有四个不同的根。

变化时的变化情况如下表:



(-1,0)
(0,1)
(1,)
的符号
+
-
+
-
的单调性




由表格知:

画出草图和验证可知,当时,

 ………………12分

试题详情


同步练习册答案