77、(山东省济南市2008年2月高三统考)已知定义在正实数集上的函数,其中。设两曲线有公共点,且在公共点处的切线相同。
(1)若,求的值;
(2)用表示,并求的最大值。
解:(1)设与在公共点处的切线相同
1分
由题意知 ,∴
由得,,或(舍去) 4分
即有 5分
(2)设与在公共点处的切线相同
由题意知 ,∴
由得,,或(舍去) 7分
即有 8分
令,则,于是
当,即时,;
当,即时, 10分
故在的最大值为,故的最大值为 12分
76、(宁夏区银川一中2008届第六次月考)已知函数f(x)=ex–kx,xR
(1)若k=e,试确定函数f(x)的单调区间。
(2)若k>0,且对于任意xR,f(|x|)>0恒成立,试确定实数k的取值范围
(3)设函数F(x)=f(x)+f(-x),求证: F(1)F(2)…F(n)=
解:(1)由K=e得f(x)=ex-ex, 所以f’(x)=ex-e. 由f’(x)>0得x>1,故f(x)的单调增区间
为(1,+∞),由f’(x)<0得x<1,故f(x)的单调递减区间为(-∞,1)(3分)
(2)由f(|x|)>0对任意x∈R成立等价于f(x)>0对任意x≥0成立。由f’(x)=ex-k=0得x=lnk.
①当k∈(0,1) 时 ,f’(x)=ex-k ≥1-k≥0(x>0),此时f(x)在(0,+∞上单调递增,
故f(x)≥f(0)=1>),符合题意。②当k∈(1,+∞)时,lnk>0,当X变化时,f’(x)、f(x)的变化情况
如下表:
X |
(0,lnk) |
lnk |
(lnk,+ ∞) |
f’(x) |
- |
0 |
+ |
f(x) |
单调递减 |
极小值 |
单调递增 |
由此可得,在(0,+∞)上f(x)≥f(lnk)=k-lnk.依题意,k-klnk>0,又k>1,所以1<k<e.综上所述,实数k的取值范围是0<k<e. (8分)
(3)因为F(x)=f(x)+f(-x)=ex+e-x,所以F(x1)F(x2)=
≥≥ ,
所以F(1)F(n)>en+1+2,F(2)F(n-1)>en+1+2
……F(n)F(1)>en+1+2.
由此得,[F(1)F(2)…F(n)]2=[F(1)F(n)][F(2)F(n-1)]…[F(n)F(1)]>(en+1+2)n
故F(1)F(2)…F(n)>(en+1+2) ,n∈N* (12分)
75、(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)设函数,
(1)求函数的单调区间和极值
(2)若当时,恒有,试确定的取值范围
解:(1) f(x)的导函数f ¢(x)=-x2+4ax-3a2 =-(x-2a)2+a2 ……………2分
∵f ¢(x)在区间(0,1)上存在反函数
∴ 2a≤0或2a≥1 …………………4分
又∵0<a<1
∴a的取值范围是 ≤a<1 …………………6分
(2)由| f ¢(x) | ≤a,得 -a≤-x2+4ax-3a2≤a
∵a+1>2a,∴f ¢(x)在[ a+1 , a+2 ]上是减函数。…………………8分
∴f ¢(x)max = f ¢(a+1)=2a-1………………………9分
f ¢(x)min = f ¢(a+2)=4a-4………………10分
∴解得 ≤a<1 ………………12分
74、(江苏省盐城市2008届高三六校联考)已知函数(b,c,d∈R且都为常数)的导函数且f(1)=7,设
(1)当a<2时,的极小值;
(2)若对任意都有成立,求a的取值范围;
(3)在(2)的条件下比较的大小.
(1)
∴2b=4 c=0 ∴b=2 c=0
∴
f(1)=7 d=4 ∴f(x)=x3+2x2+4 ……………………………………2分
∵F(x)=f(x)-ax2=x3+(2-a)x2+4
则
x1=0 x2=-
∵a<2 ∴x1>x2
故由
∴F(x)在上单调增在上单调减
故x=0时F(x)取得极小值为F(0)=4 ………………………………………………5分
(2)F(x)≥0恒成立 当x∈[0,+∞)时F(x)最小值≥0
①当2-a>0即a<2时由(1)知F(x)min=F(0)=4>0符合题意 ………………………7分
②若2-a≤0,即a≥2时,由(1)知x1<x2
∴当x∈[0,+∞)时,F(x)min=
即
a≤5 ∴2≤a≤5
综上所述 a≤5 ……………………………………………………………………10分
(3) ……………………12分
∵a≤5 ∴ 6-a≥1
故
∴(等号在a=5时成立) …………………………………14分
73、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)函数在区间(0,+∞)内可导,导函数是减函数,且 设是曲线在点()处的切线方程,并设函数
(1)用、、表示m;
(2)证明:当;
(3)是否存在实数a,使得若关于的不等式上恒成立?若存在,求出a的范围,若不存在说明理由。
解:(1) 5′
(2)证明:令
因为递减,所以递增,因此,当;
当.所以是唯一的极值点,且是极小值点,可知的
最小值为0,因此即 11′
(3)是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立.
对任意成立的充要条件是
14′
令,于是对任意成立的充要条件是
由
当时当时,,所以,当时,取最小值.因此成立的充要条件是,即 17′
综上所述,当1≤a≤不等式成立. 18′
72、(江苏省泰兴市2007-2008学年第一学期高三调研)设常数,函数.
(1)令,求的最小值,并比较的最小值与零的大小;
(2)求证:在上是增函数;
(3)求证:当时,恒有.
解(Ⅰ)∵,
∴,
……2分
∴,
∴,令,得, ……4分
列表如下:
x |
(0,2) |
2 |
(2,+∞) |
g'(x) |
- |
0 |
+ |
g(x) |
|
极小值g(2) |
|
∴在处取得极小值,
即的最小值为. ……6分
,
∵,∴,又,
∴. ……8分
证明(Ⅱ)由(Ⅰ)知,的最小值是正数,
∴对一切,恒有, ……10分
从而当时,恒有, ……11分
故在上是增函数. ……12分
证明(Ⅲ)由(Ⅱ)知:在上是增函数,
∴当时,, ……13分
又, ……14分
∴,即, ……15分
∴
故当时,恒有. ……16分
71、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)设三次函数在处取得极值,其图象在处的切线的斜率为。
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若函数在区间上单调递增,求的取值范围;
(Ⅲ)问是否存在实数(是与无关的常数),当时,恒有恒成立?若存在,试求出的最小值;若不存在,请说明理由。
解:(Ⅰ)方法一、 .由题设,得 ①
②
∵,∴,∴。
由①代入②得,∴,
得∴或 ③
将代入中,得 ④
由③、④得;
方法二、同上可得:将(1)变为:代入(2)可得:,所以,则
方法三:同上可得:将(1)变为:代入(2)可得:,显然,所以
因为图象的开口向下,且有一根为x1=1
由韦达定理得,
,所以,即,则,由得:
所以:
方法四:由得:且,由此可知
(Ⅱ)由(1)知,的判别式Δ=
∴方程有两个不等的实根,
又,∴,
∴当或时,,当时,,
∴函数的单调增区间是,∴,由知。
∵函数在区间上单调递增,∴,∴,即的取值范围是;
(Ⅲ)由,即,∵,,∴,∴或。由题意,得,∴,∴存在实数满足条件,即的最小值为。
70、(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)已知函数(a>0,且a≠1),其中为常数.如果 是增函数,且存在零点(为的导函数).
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)设A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1<x2)是函数y=g(x)的图象上两点,( 为的导函数),证明:.
解:(Ⅰ)因为,
所以. …………………………………………3分
因为h(x)在区间上是增函数,
所以在区间上恒成立.
若0<a<1,则lna<0,于是恒成立.
又存在正零点,故△=(-2lna)2-4lna=0,lna=0,或lna=1与lna<0矛盾.
所以a>1.
由恒成立,又存在正零点,故△=(-2lna)2-4lna=0,
所以lna=1,即a=e. ……………………………………………………………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ),,于是,.…………………………9分
以下证明. (※)
(※)等价于. ……………………………………………11分
令r(x)=xlnx2-xlnx-x2+x,…………………………………………………………13分
r ′(x)=lnx2-lnx,在(0,x2]上,r′(x)>0,所以r(x)在(0,x2]上为增函数.
当x1<x2时,r(x1)< r(x2)=0,即,
从而得到证明.……………………………………………………………………15分
对于同理可证……………………………………………………………16分
所以.
评讲建议:
此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识.评讲时注意着重导数在研究函数中的应用.本题的第一小题是常规题比较容易,第二小题是以数学分析中的中值定理为背景,作辅助函数,利用导数来研究函数的性质,是近几年高考的热点.第二小题还可以这样证明:
要证明,只要证明>1,令,作函数h(x)=t-1-lnt,下略.
69、(江苏省常州市北郊中学2008届高三第一次模拟检测)已知函数
(1)求函数的单调区间;
(2)若≤0恒成立,试确定实数k的取值范围;
(3)证明:
解:(1)函数的定义域为(0,+)
(2分)
当k>0时,,所以函数的单调递增区间为(0,)单调递减区是为
当k=0时,不等式恒成立,所以函数是单调递增区间为(0,+)
当k<0时,因为x>0,所以不等式恒成立,所以函数是单调递增区间为(0,+)
综上所述,当k>0时,函数的单调递增区间为(0,),单调递减区间为[,+);当k≤0时,函数的单调递增区间为(0,+)。(5分)
(2)由(1)知k≤时,函数是增函数,而,不成立,所以k>0,由(1)可得恒成立,只需,
所以所以k≥1(9分)
(3)由(2)可得当k=1时,lnx≤x-1在(0,+)上恒成立。
ln2≤1 ln3≤2 ln4≤3 ……
以上各式左右两边分别相加得
≤1+2+3+…+n=
68、(吉林省实验中学2008届高三年级第五次模拟考试)已知函数,设。
(Ⅰ)求F(x)的单调区间;
(Ⅱ)若以图象上任意一点为切点的切线的斜率 恒成立,求实数的最小值。
(Ⅲ)是否存在实数,使得函数的图象与的图象恰好有四个不同的交点?若存在,求出的取值范围,若不存在,说名理由。
解.(Ⅰ)
由。
(Ⅱ)
当
…………………………………………4分
(Ⅲ)若的图象与
的图象恰有四个不同交点,
即有四个不同的根,亦即
有四个不同的根。
令,
则。
当变化时的变化情况如下表:
|
|
(-1,0) |
(0,1) |
(1,) |
的符号 |
+ |
- |
+ |
- |
的单调性 |
↗ |
↘ |
↗ |
↘ |
由表格知:。
画出草图和验证可知,当时,
………………12分
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