53、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)直线AB过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F,并与其相交于A、B两点,Q是线段AB的中点,M是抛物线的准线与y轴的交点,O是坐标原点.
(1)求·的取值范围;
(2)过A、B两点分别作此抛物线的切线,两切线相交于N点.
求证:·=0,∥.
52、(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,O为坐标原点,点A在双曲线的右支上,点B在双曲线左准线上,
(1)求双曲线的离心率e;
(2)若此双曲线过C(2,),求双曲线的方程;
(3)在(2)的条件下,D1、D2分别是双曲线的虚轴端点(D2在y轴正半轴上),过D1的直线l交双曲线M、N,的方程。
解:(1)四边形F2ABO是平行四边形
∴四边 形F2ABO是菱形.
∴
由双曲线定义得
(2)
,双曲线方程为
把点C代入有
∴双曲线方程
(3)D1(0,-3),D2(0,3),设l的方程为
则由
因l与与双曲线有两个交点,
故所求直线l方程为
51、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)已知直线过椭圆E:的右焦点,且与E相交于两点.
(1)设(为原点),求点的轨迹方程;
(2)若直线的倾斜角为60°,求的值.
解:(1)设
由,易得右焦点 ----------(2分)
当直线轴时,直线的方程是:,根据对称性可知
当直线的斜率存在时,可设直线的方程为
代入E有; ----(5分)
于是 ;
消去参数得而也适上式,故R的轨迹方程是-(8分)
(2)设椭圆另一个焦点为,
在中设,则
由余弦定理得
同理,在,设,则
也由余弦定理得
于是 ---------(12分)
50、(山东省郓城一中2007-2008学年第一学期期末考试)在直角坐标系中,已知一个圆心在坐标原点,半径为2的圆,从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′,P′为垂足.
(1)求线段PP′中点M的轨迹C的方程;
(2)过点Q(-2,0)作直线l与曲线C交于A、B两点,设N是过点,且以为方向向量的直线上一动点,满足(O为坐标原点),问是否存在这样的直线l,使得四边形OANB为矩形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
解:(1)设M(x,y)是所求曲线上的任意一点,P(x1,y1)是方程x2 +y2 =4的圆上的任意一点,则
则有:得,
轨迹C的方程为
(1)当直线l的斜率不存在时,与椭圆无交点.
所以设直线l的方程为y = k(x+2),与椭圆交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,N点所在直线方程为
由
由△=
即 …
即,∴四边形OANB为平行四边形
假设存在矩形OANB,则,即,
即,
于是有 得 … 设,
即点N在直线上.
∴存在直线l使四边形OANB为矩形,直线l的方程为
49、过双曲线的上支上一点作双曲线的切线交两条渐近线分别于点.
(1)求证:为定值;
(2)若,求动点的轨迹方程.
解:(1)设直线AB:
由得
…………………………………….3分
…………………………………………………………………………………………….7分
(2),所以四边形BOAM是平行四边形
……………………………………………………………….9分
①
②
由①②及……………………………………………..13分
…………14分
48、已知椭圆是椭圆上纵坐标不为零的两点,若其中F为椭圆的左焦点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求线段AB的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围.
解:(Ⅰ)由已知,得
………4分
(Ⅱ)∵A、B是椭圆上纵坐标不为零的点,
∴A、F、B三点共线,且直线AB的斜率存在且不为0.
又F(-1,0),则可记AB方程为并整理得
……………………………………6分
显然△>0,设
……………………8分
直线AB的垂直平分线方程为
令x=0,得……………………………………10分
∵“=”号,
∴,
所以所求的取值范围是……………………………………12分
47、(河北省正定中学高2008届一模)已知椭圆的离心率为,直线:与以原点为圆心,以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点F2,直线过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点P,线段PF2垂直平分线交于点M,求点M的轨迹C2的方程;
(3)设C2与x轴交于点Q,不同的两点R,S在C2上,且满足,求的取值范围.
解:(本小题满分12分)
解:(1),
∵直线l:x-y+2=0与圆x2+y2=b2相切,∴=b,∴b=,b2=2,∴a3=3. ∴椭圆C1的方程是 ……………………………….(3分)
(2)∵MP=MF,
∴动点M到定直线l1:x=-1的距离等于它的定点F2(1,0)的距离,
∴动点M的轨迹是以l1为准线,F2为焦点的抛物线,
∴点M的轨迹C2的方程为。 ………………………………………….(7分)
(3)Q(0,0),设,
,
由得 ,
,化简得,
当且仅当时等号成立,
,又∵y22≥64,
∴当.
故的取值范围是.…………………………………………….(12分)
46、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知平面上一定点C(4,0)和一定直线为该平面上一动点,作,垂足为Q,且.
(1)问点P在什么曲线上?并求出该曲线的方程;
(2)设直线与(1)中的曲线交于不同的两点A、B,是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过点D(0,-2)?若存在,求出k的值,若不存在,说明理由.
解:(1)设P的坐标为,由得
(2分) ∴((4分)
化简得 ∴P点在双曲线上,其方程为(6分)
(2)设A、B点的坐标分别为、,
由 得(7分)
,(8分)
∵AB与双曲线交于两点,∴△>0,即
解得(9分)
∵若以AB为直径的圆过D(0,-2),则AD⊥BD,∴,
即,(10分)
∴
∴
解得,故满足题意的k值存在,且k值为.
45、(河北衡水中学2008年第四次调考)如图所示,已知圆,定点A(3,0),M为圆C上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足,点N的轨迹为曲线E。
(1)求曲线E的方程;
(2)求过点Q(2,1)的弦的中点的轨迹方程。
解:(1)∵
∴为的中垂线, …………2分
又因为,所以
所以动点的轨迹是以点和为焦点的椭圆,
且 …………4分
所以曲线的方程为:; …………6分
(2)设直线与椭圆交与两点,中点为
由点差法可得:弦的斜率…………8分
由,Q(2,1)两点可得弦的斜率为,…………10分
所以,
化简可得中点的轨迹方程为: …………12分
44、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知曲线的方程为:
(1)若曲线是椭圆,求的取值范围;
(2)若曲线是双曲线,且有一条渐近线的倾斜角为,求此双曲线的方程.
解:(1)当
它表示椭圆的充要条件是
(2)方程表示双曲线的充要条件是:
当
其一条渐近线斜率为:
此时双曲线的方程为:
当,双曲线焦点在y轴上:
其一条渐近线斜率为:
综上可得双曲线方程为:
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