3.已知数列中,,那么等于( )
A、-495 B、765 C、1080 D、3105
2.数列{an}的前n项和Sn=3n-2n2 (n∈N),当n>2时有( )
A.Sn>na1>nan B.Sn< nan<na1 C.na1<Sn<nan D.nan<Sn<na1
例12. 设是两个数列,点为直角坐标平面上的点.
(1)对若三点共线,求数列的通项公式;
(2)若数列{}满足:,其中是第三项为8,公比为4的等比数列.求证:点列(1,在同一条直线上,并求此直线的方程.
例13. 已知曲线y=,过曲线上一点(异于原点)作切线。
(1)求证:直线与曲线y=交于另一点;
(2)在(1)的结论中,求出的递推关系。若,求数列的通项公式;
(3)在(2)的条件下,记,问是否存在自然数m,M,使得不等式m<Rn<M对一切恒成立,若存在,求出M-m的最小值;否则请说明理由。
变式:
由坐标原点O向曲线引切线,切于O以外的点P1,再由P1引此曲线的切线,切于P1以外的点P2),如此进行下去,得到点列{ Pn}.
求:(1)的关系式;(2)数列的通项公式
反馈练习:
1.已知数列的前n项和,那么这个数列中的奇数项依照原来的顺序构成的数列的通项公式是( )
A. B.
C. D.
例11. 某地为了防止水土流失,植树造林,绿化荒沙地,每年比上一年多植相同亩数的林木,但由于自然环境和人为因素的影响,每年都有相同亩数的土地沙化,具体情况为下表所示:
|
1998年 |
1999年 |
2000年 |
新植亩数 |
1000 |
1400 |
1800 |
沙地亩数 |
25200 |
24000 |
22400 |
而一旦植完,则不会被沙化。问:(1)每年沙化的亩数为多少?(2)到那一年可绿化完全部荒沙地?
变式:
某公司按现有能力,每月收入为70万元,公司分析部门测算,若不进行改革,入世后因竞争加剧收入将逐月减少.分析测算得入世第一个月收入将减少3万元,以后逐月多减少2万元,如果进行改革,即投入技术改造300万元,且入世后每月再投入1万元进行员工培训,则测算得自入世后第一个月起累计收入Tn与时间n(以月为单位)的关系为Tn=an+b,且入世第一个月时收入将为90万元,第二个月时累计收入为170万元,问入世后经过几个月,该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.
例9.已知函数f(x)=
(1)求f(x)的反函数f-1 (x)的表达式;
(2)数列中,a1 =1;an =f-1 (an-1) ( ),如果bn =(nÎN),求数列的通项公式及前n项和Sn;
(3)如果g(n)=2Sn-17n,求函数g(x) (xÎR)在区间[t,t+2] (tÎR)上的最小值h(t)的表达式。
例10. 函数的反函数为,数列满足:,数列满足:,
(1)求数列和的通项公式;
(2)记,若对任意的,恒有成立,求实数的取值范围.
变式:
已知,,数列满足,
, .
(Ⅰ)求证:数列是等比数列;
(Ⅱ)当n取何值时,取最大值,并求出最大值;
(III)若对任意恒成立,求实数的取值范围.
例7. 若函数,数列 成等差数列.
(1)求数列的通项;
(2)若,令,求数列前项和;
(3)在(2)的条件下对任意,都有,求实数的取值范围。
例8. 设数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式:3tSn-(2t+3)Sn-1=3t (t>0,n=2,3,4…)
(1)求证:数列{an}是等比数列;
(2)设数列{an}的公比为f(t),作数列{bn},使b1=1,bn=f()(n=2,3,4…),求数列{bn}的通项bn;
(3)求和:b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1
变式:
已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上.
(1) 求数列的通项公式;
(2) 设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m.
例5. 如图,将圆分成个区域,用3种不同颜色给每一个区域染色,要求相邻区域颜色互异,把不同的染色方法种数记为。求
(Ⅰ);
(Ⅱ)与的关系式;
(Ⅲ)数列的通项公式,并证明。
例6. 在数列中,,,.
(1)证明数列是等比数列;
(2)求数列的前项和;
(3)证明不等式,对任意皆成立.
变式:
数列记
(1)求b1、b2、b3、b4的值;(2)求数列的通项公式及数列的前n项和
2.设是数列()的前项和,,且,,.
(I)证明:数列()是常数数列;
(II)试找出一个奇数,使以18为首项,7为公比的等比数列()中的所有项都是数列中的项,并指出是数列中的第几项.
例3.已知数列的前n项和为Sn,满足条件,其中b>0且b1。
(1)求数列的通项an;(2)若对,试求b的取值范围。
例4. 已知数列的前项和为,若,
(1)证明数列为等差数列,并求其通项公式;
(2)令,①当为何正整数值时,;②若对一切正整数,总有,求的取值范围。
变式:
1.在等差数列中,,前项和满足条件,
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)记,求数列的前项和。
例1.数列中,,(是常数,),且成公比不为的等比数列。(1)求的值;(2)求的通项公式。
例2.若都是各项为正的数列,对任意的正整数都有成等差数列,成等比数列。
(1)试问是否是等差数列?为什么?
(2)求证:对任意的正整数成立;
(3)如果,求。
变式:
数列{an}中,a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1-an,(n∈N*)。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn;
(3)设bn=(n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整数m,使得对任意n∈N*均有Tn>成立?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由。
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