6.若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为( C )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)4
5.双曲线的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,则双曲线离心率的取值范围是( C )
A. B. C. D.
4.设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为( B )
A. B. C. D.
3.双曲线(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PE2|,则双曲线离心率的取值范围为( B )
A.(1,3) B.(1,3) C.(3,+∞) D. [3,+∞)
2.若圆的半径为1,圆心在第一象限,且与直线和轴相切,则该圆的标准方程是( B )
A. B.
C. D.
例6.已知抛物线和三个点,过点的一条直线交抛物线于、两点,的延长线分别交曲线于.
(1)证明三点共线;
(2)如果、、、四点共线,问:是否存在,使以线段为直径的圆与抛物线有异于、的交点?如果存在,求出的取值范围,并求出该交点到直线的距离;若不存在,请说明理由.
解:(1)设,
则直线的方程:,即
因在上,所以① 又直线方程:
由得:,所以
同理,,所以直线的方程:
令得
将①代入上式得,即点在直线上,所以三点共线
(2)由已知共线,所以 以为直径的圆的方程:,由得
所以(舍去), 。要使圆与抛物线有异于的交点,则,所以存在,使以为直径的圆与抛物线有异于的交点 ,则,所以交点到的距离为
例7.已知中心在原点的双曲线的一个焦点是,一条渐近线的方程是.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点,且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求的取值范围.
解:(Ⅰ)设双曲线的方程为,由题设得
解得 所以双曲线的方程为.
(Ⅱ)设直线的方程为,点,的坐标满足方程组
将①式代入②式,得,整理得.
此方程有两个不等实根,于是,且.整理得
. ③
由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足
,.
从而线段的垂直平分线的方程为.
此直线与轴,轴的交点坐标分别为,.由题设可得
.整理得,.
将上式代入③式得,
整理得,.解得或.
所以的取值范围是.
变式:
设椭圆中心在坐标原点,是它的两个顶点,直线与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.
(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)求四边形面积的最大值.
解:(Ⅰ)依题设得椭圆的方程为,
直线的方程分别为,.
如图,设,其中,
且满足方程,故.①
由知,得;
由在上知,得.,
化简得,解得或.
(Ⅱ)根据点到直线的距离公式和①式知,点到的距离分别为
,.
又,所以四边形的面积为
,
当,即当时,上式取等号.所以的最大值为.
反馈练习:
1.已知变量满足约束条件则的最大值为( B )
A. B. C. D.
2.已知是抛物线的焦点,是上的两个点,线段AB的中点为,则的面积等于 2
例5.①已知双曲线的左右焦点分别为,为的右支上一点,且,则的面积等于( C )
(A) (B) (C) (D)
②已知、是椭圆的两个焦点,满足的点总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( C )
A. B. C. D.
变式:
1.设是等腰三角形,,则以为焦点且过点的双曲线的离心率为( B )
A. B. C. D.
例3. 已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于A、B两点,若,则= 8
例4. 已知抛物线:,直线交于两点,是线段的中点,过作轴的垂线交于点.
(Ⅰ)证明:抛物线在点处的切线与平行;
(Ⅱ)是否存在实数使,若存在,求的值;若不存在,说明理由.
解:(Ⅰ)如图,设,,把代入得,
由韦达定理得,,
,点的坐标为.
设抛物线在点处的切线的方程为,
将代入上式得,直线与抛物线相切,
,.即.
(Ⅱ)假设存在实数,使,则,又是的中点, .
由(Ⅰ)知.
轴,.
又
.
,解得.即存在,使.
变式:
已知双曲线的两个焦点为的曲线C上.
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)记O为坐标原点,过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,若△OEF的面积为求直线l的方程
解:(Ⅰ)依题意,由a2+b2=4,得双曲线方程为(0<a2<4),
将点(3,)代入上式,得.解得a2=18(舍去)或a2=2,故所求双曲线方程为
(Ⅱ)依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理,得(1-k2)x2-4kx-6=0.
∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,
∴ ∴k∈(-)∪(1,).
设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得x1+x2=于是
|EF|=
=,而原点O到直线l的距离d=,
∴SΔOEF=
若SΔOEF=,即解得k=±,满足②.
故满足条件的直线l有两条,其方程分别为y=和
2.若,且当时,恒有,则以,b为坐标点 所形成的平面区域的面积等于 ( C )
(A) (B) (C)1 (D)
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