2、理解图象变换与函数式变换之间的关系--平移变换、伸缩变换、对称变换、对称轴、对称中心和函数式表示--

1、函数图象的意义--

两种画图方法--

[例1]图①是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.

(1)试说明图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义.

(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图②③所示.你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？

(3)图①、图②中的票价是多少元？图③中的票价是多少元？票价在图中的几何意义是什么?

解：(1)点A表示无人乘车时收入差额为－20元，点B表示有10人乘车时收入差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利.

(2)图②的建议是降低成本，票价不变，图③的建议是增加票价.

(3)图①②中的票价是2元.图③中的票价是4元. 票价在图中的几何意义是直线的斜率.

知识.感悟：图象的意义和函数式中系数(斜率、截距)的实际意义。

[例2](1)若方程有两个不同的实数根，求实数m的范围。

(2)求不等式的解；

解：(1)方程的根就是函数和

的图象交点的横坐标，当

在如图两直线之间时有两交点。

由

由

∴

(2)解方程得，结合图形知，不等式的解集为

点评：利用函数图象的交点研究方程的根、不等式的解；这是数形结合的典范，要能熟练运用。

[例3]已知函数

(1)证明函数y=f(x)的图象关于点(1/2,1/2)对称

(2)求f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)的值

证明(1)设是图象上任一点，则

又P关于点(1/2,1/2)对称点为Q(1-x,1-y)

所以，函数y=f(x)的图象关于点(1/2,1/2)对称；

(2)由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以

f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。

归纳方法：

(1)会求对称点的坐标; ：证对称性就是证图象上任一点(x,y)关于“xx“对称的点仍在图象上；

(2)注意解析式的变换运用和既得结论的应用。

[例4] (88年全国)给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝ (其中x∈R且x≠)，证明：①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴；　 ②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。

[证明] ① 设是函数图像上任意两个不同的点，则,

假设直线平行于x轴，则必有，即＝，整理得

∵　 ∴ a＝1， 这与已知“a≠1”矛盾，　

因此假设不对，即直线不平行于x轴。

② 由y＝得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,所以x＝，即原函数y＝的反函数为y＝，图像一致。由互为反函数的两个图像关于直线y＝x对称可以得到，函数y＝的图像关于直线y＝x成轴对称图像。

对于“不平行”这样否定性结论可使用反证法，假设“平行”，经推理，导出矛盾。第②问中，对称问题运用了反函数图象的对称性，方法巧妙，体现了知识间的联系和解题思路的灵活性。

[研究.欣赏](2006春上海) 设函数.

(1)在区间上画出函数的图像；

(2)设集合

.

　试判断集合和之间的关系，并给出证明；

(3)当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方.

解:(1)

(2)方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此

.

由于

(3)[解法一] 当时，.

　　　　　　　 　　　　. 又，

　　 ①　 当，即时，取，

　　 .

　　 ，　　　 则.

　 ②　 当，即时，取， ＝.

　　 由 ①、②可知，当时，，.

　　 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.

　　 [解法二] 当时，.

由 得，

　　 令 ，解得 或，

在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点； 当时，的图像与函数的图像没有交点.

如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.　

7、f(x+t)即把f(x)左右平移,只能向右平移,最多移到f(1+t)=1时m最大.算得m_max=4. 法二:只须有解.

6、即把(x,y)换成(2-x,y)；图象关于x=1对称；或2-x=2,y=0。

4、由可知-(或由换元法，

2、f ^-1(x)交y　轴于点(0,2),则f(x)交x轴于点(2,0),

7.已知函数f(x)=x²+2x+1,若存在实数t,当x∈[1,m]时,f(x+t)≤x恒成立,则实数m的最大值为________

简答:1-4、ACDD； 5、1； 6、(0，4)

6、方程f(x,y)=0的曲线过点(2，4)，则方程f(2－x,y)=0的曲线必过点 　　

5、方程(a>0且a≠1)实数解的个数是