3．不等式恒成立问题转化为最值问题

2．用不等式求最值时要注意“=”的成立条件;

1．熟练掌握求函数最值的几种方法，并能灵活转化运用；

[例1]已知函数f(x)=, x∈［1,+∞

(1)当a=时，求函数f(x)的最小值

(2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围　

解:(1)　 当a=时，f(x)=x++2

∵f(x)在区间［1，+∞上为增函数，

∴f(x)在区间［1，+∞上的最小值为f(1)=

(2)解法一:　 在区间［1，+∞上，

f(x)= >0恒成立x²+2x+a>0恒成立

设y=x²+2x+a,　 x∈［1,+∞

∵y=x²+2x+a=(x+1)²+a－1递增，

∴当x=1时，y_min=3+a,当且仅当y_min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，

故a>－3 ?

解法二:f(x)=x++2, x∈［1,+∞

当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；

当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)_min=3+a,

当且仅当f(x)_min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3

解法分析：(1)中不能用用判别式法求最值, 对也不能用均值不等式求最值，只能用”对钩”函数的的单调性求最值.

(2)中法一转化的很高明，法二是这一类题的一般解法。

[例2]某农产品去年各季度的市场价格如下表：

今年某公司计划按去年各季度市场价的“最佳近似值m”(m是与上表中各售价差的平方和取最小值时的值)收购该种农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点。

(1)根据题中条件填空，m=　　　 (元/担)

(2)写出税收y(万元)与x的函数关系式；

(3)若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围。

解:设平方和为y

(1)

取最小值时,故应填200.

(2)降低税率后的税率为(10-x)%,农产品的收购量为a(1+2x%)万担,收购总金额200·a(1+2x%),依题意，

(3)原计划税收为(万元)，依题意，得：

,

解得:

答:x的取值范围是0<x≤2.

方法提炼:理清m 的实际意义求出m;建模,解二次不等式.

[例3]某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有旧墙一面，其长14m,现准备利用这面旧墙，建造平面图形为矩形，面积为126m²的厂房，工程条件：(1)修1m旧墙的费用是建1m新墙的费用的25%，(2)用拆去1m旧墙的材料建1m新墙，其费用是建1m新墙费用的50%，(3)建门窗的费用与建新墙的费用相同，问：如何利用旧墙才能使建墙费用最低？

解：设利用旧墙的一面矩形边长为x，则矩形的另一面边长为

(1)利用旧墙的一段xm(x<14)为矩形的一面长，则修旧墙的费用为，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为，其余的建新墙的费用为

故总费用

∴当且仅当x=12时，y_最小=7a(6-1)=35a

(2)若利用旧墙的一面矩形边长x≥14,则修旧墙的费用为，建新墙的费用为，故总费用

设

上为增函数，

∴当x=14时，

所以，采用第一种方案，利用旧墙12m为矩形的一面边长，使建墙费用最省。

特别提醒: 本题要对厂房一边长<、>14两种方案都作讨论.

[例4]某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海中的行进速度2米/秒,在AD上找一落点C，使救生员从A到B的时间最短，并求出最短时间。

解： ,则从A经C到B的时间为t,

因此点C应选沿岸边AD距D点米处,才能使救生员从A经C到B所用的时间最短为秒

法二：设∠DBC=α则，用时

记,它表示点(cosα,sinα)和(0,3)连线的斜率,结合图形知当连线与圆弧相切时k 最大,t最小,y=ky+3代入y²+y²=1,Δ=0,得,

　此时,最小.

解法研讨:法一:以CD长为自变量建模,导数法求最值;法二:以∠DBC为自变量建模,方法更具灵活性.

[研讨.欣赏]

(2006湖南)对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:1－污物质量÷物体质量(含污物))为, 要求清洗完后的清洁度为.　 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗;　 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为a(1≤a≤3). 设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是c=, (0.8<c<0.99, x>a-1), 用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是,

(Ⅰ)分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少;

(Ⅱ)若采用方案乙, 当a为某定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

解：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为与，由题设有，解得

由得方案乙初次用水量为3，第二次用水量满足方程

，解得，故

即两种方案的用水量分别为19与。

因为当时，，即，

故方案乙的用水量较少

(Ⅱ)设初次与第二次清晰的用水量分别为与，类似(Ⅰ)得

　 (*)

于是

当为定值时，

当且仅当 时等号成立，此时(不合题意，舍去)

或(0.8，0.99)

将代入(*)式得

故时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为与，最少总用水量是

当时，，故是增函数(也可以用二次函数的单调性判断)。这说明，随着的值的增加，最少总用水量增加。

6.设x=cosα,y=cosβ,

由已知x,y不能取负值,否则,若x<0,则则已知不成立,故x,y均不小于0.

∴cosαsinβ+cosβsinα=1,α+β=π/2,x+y=cosα+sinα最小值是1；

7 t=+16×()²/V=+≥2=8

5．即f(m)=(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2] 恒成立， 则f(2)<0且f(-2)<0解得x∈(,);

4. 设提价2x元,则获利y=(10+x)(100-10x)= -20(x²-5x-50),x=2或3时最大,x=3时投资小;

3.数形结合;

2.设.

,当k=1,即x=y=a时取等号.k+1/k无最大值,xy无最小值;　　

6．若，则y+y的最小值是_____________.

7　 一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于()²千米 ，那么这批物资全部运到B市，最快需要_________小时(不计货车的车身长)　

简答提示:1-4.DCDB;　　 1.配方法分母≥3/4,　再由不等式法;