18.(本小题满分15分)某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处,已知AB=AC=6km,现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站. 记P到三个村庄的距离之和为y.
(1)设,把y表示成的函数关系式;
(2)变电站建于何处时,它到三个小区的距离之和最小?
[解](1)在中,所以=OA=.所以
由题意知. ……………………2分
所以点P到A、B、C的距离之和为
. ……………………6分
故所求函数关系式为. ……………………7分
(2)由(1)得,令即,又,从而. ……………………9分.
当时,;当时, .
所以当 时,取得最小值, ………………… 13分
此时(km),即点P在OA上距O点km处.
[答]变电站建于距O点km处时,它到三个小区的距离之和最小. ………… 15分
17.(本小题满分15分)设等差数列的前项和为且.
(1)求数列的通项公式及前项和公式;
(2)设数列的通项公式为,问: 是否存在正整数t,使得
成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.
[解](1)设等差数列的公差为d. 由已知得 ……………………2分
即解得……………………4分.故. ………6分
(2)由(1)知.要使成等差数列,必须,即,……8分.整理得, …………… 11分
因为m,t为正整数,所以t只能取2,3,5.当时,;当时,;当时,.
故存在正整数t,使得成等差数列. ………………… 15分
16.(本小题满分14分)如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD,DE=2AB,F为CD的中点.
(1) 求证:AF∥平面BCE;
(2) 求证:平面BCE⊥平面CDE.
[证明](1)因为AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,
所以AB∥DE.
取CE的中点G,连结BG、GF,因为F为的中点,
所以GF∥ED∥BA, GF=ED=BA,
从而ABGF是平行四边形,于是AF∥BG. ……………………4分
因为AF平面BCE,BG平面BCE,所以AF∥平面BCE. ……………………7分
(2)因为AB⊥平面ACD,AF平面ACD,
所以AB⊥AF,即ABGF是矩形,所以AF⊥GF. ……………………9分
又AC=AD,所以AF⊥CD. ………………… 11分
而CD∩GF=F,所以AF⊥平面GCD,即AF⊥平面CDE.
因为AF∥BG,所以BG⊥平面CDE.
因为BG平面BCE,所以平面BCE⊥平面CDE. ………………… 14分
15.(本小题满分14分)在△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C所对的边,且b2=ac,向量和满足.(1)求的值;(2)求证:三角形ABC为等边三角形.
[解](1)由得,, ……………………2分
又B=π(A+C),得cos(AC)cos(A+C)=, ……………………4分
即cosAcosC+sinAsinC(cosAcosCsinAsinC)=,所以sinAsinC=. ……………6分
[证明](2)由b2=ac及正弦定理得,故. ……………8分
于是,所以 或. 因为cosB =cos(AC)>0, 所以 ,故. ………………… 11分
由余弦定理得,即,又b2=ac,所以 得a=c.
因为,所以三角形ABC为等边三角形. ………………… 14分
11.; 12.4; 13.; 14.0.
6.; 7.; 8.90; 9.10; 10.①③④ ;
1.; 2.; 3.2; 4.; 5.;
14.在平面直角坐标系xOy中,设直线和圆相切,其中m,,若函数 的零点,则k= ▲ .
[填空题答案]
13.设面积为S的平面四边形的第i条边的边长记为ai(i=1,2,3,4),P是该四边形内任意一点,P点到第i条边的距离记为hi,若, 则.类比上述结论,体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i=1,2,3,4),Q是该三棱锥内的任意一点,Q点到第i个面的距离记为Hi,则相应的正确命题是:若,则 ▲ .
12.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的
四边形是一个面积为4的正方形,设P为该椭圆上的动点,C、D的坐标分别是,则PC·PD的最大值为 ▲ .
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