4.(1)二项式定理:,其中各系数就是组合数
,它叫做第r+1项的二项式系数;展开式共有n+1项,其中第r+l项
.某项“加数
”的指数
该项的“项数减去1的差”,也可看成组合数的上标.
(2)二项式展开式中二项式系数(组合数)的性质:对称性、等距性、单调最值性和.
(3)应用“赋值法”同样可得相关性质或寻求二项式展开式中“奇次(数)项”“偶次(数)项”的系数和.如,奇(偶)次项系数和
(
).
注意:二项式展开式中区分“二项式系数、项的系数”,寻求其中项的系数的最大值是将相邻两项的系数构建不等式进行.
二项式的应用主要是进行应用其前几项近似计算、整除性计算或证明、应用其首尾几项进行放缩.
3.解排列组合问题的规律是(优限法和间接法):相邻问题捆绑法;不邻(相间)问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;多元问题分类法;有序问题用除法(组合法);选取问题先选后排法;至多至少问题间接法,特别地还有隔板法(什么时候用?)、字典法、构造法等.
2.解排列组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合.
1.排列数、组合数
中
.
(1)排列数公式
;
.
(2)组合数公式
;
.
(3)组合数性质:
,
,
.
10.球是一种常见的简单几何体.球的位置由球心确定,球的大小仅取决于半径的大小.球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点.球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合.球的截面是圆面,其中过球心的截面叫做大圆面.球面上两点间的距离,是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长,计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件,先寻求球面上两点间的弦长”,因为此弦长既是球面上两点间的弦长,又是大圆上两点间的弦长.注:“经度是‘小小半径所成角’,纬度是‘大小半径的夹角’”.
球体积公式,球表面积公式
,是两个关于球的几何度量公式.它们都是球半径及的函数.解决球的相关问题务必注意球的几何性质(尤其是“球的半径、球心截面距、小圆半径构成直角三角形”;球与多面体相切或相接时,组合体的特殊关联关系).
8.多面体是由若干个多边形围成的几何体.棱柱和棱锥是特殊的多面体.
正多面体的每个面都是相同边数的正多边形,以每个顶点为其一端都有相同数目的棱,这样的多面体只有五种, 即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.
关于多面体的概念间有如下关系:
{多面体} {简单多面体} {凸多面体} {正多面体};
{凸多面体} {棱柱} {直棱柱} {正棱柱} {正方体};
{凸多面体} {棱锥} {正棱锥} {正四面体}.
欧拉公式(V+F一E=2)是简单多面体的重要性质,在运用过程中应重视“各面的边数总和等于各顶点出发的棱数总和、等于多面体棱数的两倍”.“简单多面体各面的内角总和是(V-2)×3600”.
过一个顶点有n条棱,每个面是m边形的一般方法是什么?
7.求几何体体积的常规方法是:公式法、割补法、等积(转换)法、比例(性质转换)法等.注意:补形:三棱锥三棱柱
平行六面体
分割:三棱柱中三棱锥、四三棱锥、三棱柱的体积关系是 .
6.直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质.
如长方体中:对角线长,棱长总和为
,全(表)面积为
,(结合
可得关于他们的等量关系,结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式),
;
如三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心,侧棱两两垂直(两对对棱垂直)
顶点在底上射影为底面垂心,斜高长相等(侧面与底面所成相等)且顶点在底上在底面内
顶点在底上射影为底面内心.
如正四面体和正方体中:
5.空间平行垂直关系的证明,主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行,模式是:
线线关系线面关系
面面关系,请重视线面平行关系、线面垂直关系(三垂线定理及其逆定理)的桥梁作用.注意:书写证明过程需规范.
特别声明:①证明计算过程中,若有“中点”等特殊点线,则常借助于“中位线、重心”等知识转化.
②在证明计算过程中常将运用转化思想,将具体问题转化 (构造) 为特殊几何体(如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等)中问题,并获得去解决.
③如果根据已知条件,在几何体中有“三条直线两两垂直”,那么往往以此为基础,建立空间直角坐标系,并运用空间向量解决问题.
4.计算空间距离的主要方法有:定义法(先作垂线段后计算)、等积法、转换法(平行换点、换面)等.
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