4.在三角形ABC中,已知A(2,3),B(8,-4),点G(2,-1)在中线AD上,且=2,则点C的坐标是 ( )
A.(-4,2) B.(-4,-2)
C.(4,-2) D.(4,2)
解析:设C(x,y),则D(,),再由=2得(0,-4)=2(,),∴4+x=0,-2+y=-4,即C(-4,-2).
答案:B
3.在▱ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=________(用a、b表示).
解析:由=3得4=3=3(a+b),=a+b,所以=(a+b)-(a+b)=-a+b.
答案:-a+b
题组二 |
平面向量的坐标运算 |
2.(2010·温州模拟)已知直角坐标平面内的两个向量a=(1,3),b=(m,2m-3),使平平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成c=λa+μb,则m的取值范围是________.
解析:∵c可唯一表示成c=λa+μb,
∴a与b不共线,即2m-3≠3m,
∴m≠-3.
答案:{m∈R|m≠-3}
1.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则= ( )
A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b
解析:如图所示,由△DEF∽△BEA知
=+=a+
=a+(b-a)
=a+b.
答案:B
12.(文)如图,△ABC中,在AC上取一点N,使得AN=AC,
在AB上取一点M,使得AM=AB,在BN的延长线上取
点P,使得NP=BN,在CM的延长线上取点Q,使得=λ时,=,试确定λ的值.
解:∵=-=(-)
=(+)=,
=-=+λ,
又∵=,∴+λ=,
即λ=,∴λ=.
(理)如图,△ABC中,D为BC的中点,G为AD
的中点,过点G任作一直线MN分别交AB、AC于
M、N两点,若=x,=y,求+的值.
解:设=a,=b,则=xa,=yb,
==(+)=(a+b).
∴=-=(a+b)-xa=(-x)a+b,
=-=yb-xa=-xa+yb.
∵与共线,∴存在实数λ,使=λ.
∴(-x)a+b=λ(-xa+yb)=-λxa+λyb.
∵a与b不共线,∴
消去λ,得+=4,∴+为定值.
11.(2009·湖南高考)如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若=x+y,则x=________,y=________.
解析:法一:以AB所在直线为x轴,以A为原点建立平面直角坐标系如图,
令AB=2.则=(2,0),=(0,2),过D作DF⊥AB交AB的延长线为F,
由已知得DF=BF=,
则=(2+,).
∵=x+y,∴(2+,)=(2x,2y).
即有解得
法二:过D作DF⊥AB交DB的延长线为F.由已知可求得BF=DF=AB,
=+
=(1+)+,
所以x=1+,y=.
答案:1+
10.非零不共线向量、,且2=x+y,若=λ (λ∈R),则点Q(x,y)的轨迹方程是 ( )
A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0
C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0
解析:=λ,得-=λ(-),
即=(1+λ) -λ.
又2=x+y,
∴消去λ得x+y=2.
答案:A
9.已知平面上不共线的四点O、A、B、C.若-4+3=0,则=________
A. B. C.2 D.3
解析:∵-4+3=0,∴(-)-3+3=0,即-=3(-),∴=3,∴=3.
答案:D
8.设e1、e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e1、b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示另一组基向量a、b的线性组合,则e1+e2=________a+________b.
解析:设e1+e2=xa+yb,
即e1+e2=(x-y)e1+(2x+y)e2.
∴∴x=,y=-.
答案: -
题组四 |
向量线性运算的综合应用 |
7.(2009·湖南高考)对于非零向量a、b,“a+b=0”是“a∥b”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:由a+b=0知道a与b互为相反向量,从而a∥b,充分性成立. 由a∥b知a=λb.λ≠-1时,a+b≠0,∴必要性不成立.
答案:A
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