12．(文)已知向量m＝(cos，cos)，n＝(cos，sin)，且x∈[0，π]，令函数f(x)＝2a m·n+b.

(1)当a＝1时，求f(x)的递增区间；

(2)当a<0时，f(x)的值域是[3,4]，求a、b.

解：f(x)＝2a m·n+b

＝2a(cos²+sinx)+b

＝2a(cosx+sinx+)+b

＝a(sinx+cosx)+a+b

＝asin(x+)+a+b.

(1)当a＝1时，f(x)＝sin(x+)+1+b.

令－+2kπ≤x+≤+2kπ，

得－π+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z)，

又x∈[0，π]，∴f(x)的递增区间为[0，]．

(2)当a<0时，∵x∈[0，π]，

∴x+∈[，]，∴sin(x+)∈[－，1]．

当sin(x+)＝－时，f(x)＝－a+a+b＝b，

∴f(x)的最大值为b.

当sin(x+)＝1时，f(x)＝a+a+b＝(1+)a+b.

∴f(x)的最小值为(1+)a+b.

∴解得a＝1－，b＝4.

(理)已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c.向量m＝(a,4cosB)，n＝(cosA，b)满足m∥n.

(1)求sinA+sinB的取值范围；

(2)若实数x满足abx＝a+b，试确定x的取值范围．

解：(1)因为m∥n，所以＝，即ab＝4cosAcosB.

因为△ABC的外接圆半径为1，由正弦定理，得

ab＝4sinAsinB.

于是cosAcosB－sinAsinB＝0，即cos(A+B)＝0.

因为0＜A+B＜π.所以A+B＝.故△ABC为直角三角形．

sinA+sinB＝sinA+cosA＝sin(A+)，

因为＜A+＜，

所以＜sin(A+)≤1，故1＜sinA+sinB≤.

(2)x＝＝＝.

设t＝sinA+cosA(1＜t≤)，则2sinAcosA＝t²－1，

x＝，因为x′＝＜0，

故x＝在(1，]上是单调递减函数．

所以≥.所以实数x的取值范围是[，+∞)．

11．(2009·浙江高考)设向量a，b满足：|a|＝3，|b|＝4，a·b＝0，以a，b，a－b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为　　　　　　 (　)

A．3 　　　　　B．4 　　　　　C．5　 　　　　D．6

解析：当圆与三角形两边都相交时，有4个交点，本题新构造的三角形是直角三角形，其内切圆半径恰好为1.故它与半径为1的圆最多有4个交点．

答案：B

10.(2010·长郡模拟)已知| |＝1，||＝，·＝0，

点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m+n

　(m，n∈R)，则等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(　)

A.　　　B．3 　　　　　　C.　 　　　　　　D.

解析：| |＝1，| |＝，·＝0，

∴OA⊥OB，且∠OBC＝30°，

又∵∠AOC＝30°，∴⊥.

∴(m+n)·(－)＝0，

∴－m²+n²＝0，

∴3n－m＝0，

即m＝3n，∴＝3.

答案：B

9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x+3，－x)，x∈R.

(1)若a⊥b，求x的值；

(2)若a∥b，求|a－b|.

解：(1)若a⊥b，

则a·b＝(1，x)·(2x+3，－x)

＝1×(2x+3)+x(－x)＝0.

整理得x²－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.

(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x+3)＝0，

即x(2x+4)＝0，解得x＝0或x＝－2.

当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，

∴|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|

＝＝2.

当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，

∴|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|

＝＝2.

8．(2009·广东高考)若平面向量a，b满足|a+b|＝1，a+b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________.

解析：设a＝(x，y)，则a+b＝(x+2，y－1)

由题意⇒

∴a＝(－1,1)或a＝(－3,1)．

答案：(－1,1)或(－3,1)

7.已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于　　　　　　 (　)

A．－4　　　 　B．4 　　　C．0 　　　　D．9

解析：∵a＝(1,2)，b＝(x，－2)，∴a－b＝(1－x,4)，

∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝0，∴1－x+8＝0，∴x＝9.

答案：D

6．设两个向量e₁、e₂满足|e₁|＝2，|e₂|＝1，e₁、e₂的夹角为60°，若向量2te₁+7e₂与向量e₁+te₂的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

解：由已知，＝|e₁|²＝4，＝|e₂|²＝1，

e₁·e₂＝2×1×cos60°＝1.

∴(2te₁+7e₂)·(e₁+te₂)＝2t+(2t²+7)e₁·e₂+7t

＝2t²+15t+7.

由2t²+15t+7＜0，得－7＜t＜－.

由2te₁+7e₂＝λ(e₁+te₂)(λ＜0)，得，

∴.由于2te₁+7e₂与e₁+te₂的夹角为钝角，

故(2te₁+7e₂)·(e₁+te₂)＜0且2te₁+7e₂≠λ(e₁+te₂)(λ＜0)，故t的取值范围是(－7，－)∪(－，－)．

5．在△ABC中，·＝3，△ABC的面积S∈[，]，则与夹角的取值范围是　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　)

A．[，]　 　　　B．[，]　　　　　 C．[，]　 　　　D．[，]

解析：设〈·〉＝θ，由·＝| || |cosθ＝3，得| || |＝，

∴S＝| || |sinθ＝××sinθ＝tanθ.

由≤tanθ≤，得≤tanθ≤1，

∴≤θ≤.

答案：B

4.(2009·全国卷Ⅰ)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a+b＝c，则〈a，b〉＝(　)

A．150° 　　　　B．120°　　　　　 C．60°　　　 　D．30°

解析：(a+b)²＝c²，a·b＝－，cos〈a，b〉＝＝－，〈a，b〉＝120°.

答案：B

3．(2009·福建高考)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于　　　　　　　　　　 (　)

A．以a，b为两边的三角形的面积

B．以b，c为两边的三角形的面积

C．以a，b为邻边的平行四边形的面积

D．以b，c为邻边的平行四边形的面积

解析：设〈a，b〉＝θ，θ∈(0，π)，

∵〈a，c〉＝，∴〈b，c〉＝－θ，

以a，b为邻边的平行四边形面积为

|a||b|sinθ，而|b·c|＝

＝|b||c|sinθ，

又|a|＝|c|，∴|b·c|＝|a||b|sinθ.

答案：C