0  383574  383582  383588  383592  383598  383600  383604  383610  383612  383618  383624  383628  383630  383634  383640  383642  383648  383652  383654  383658  383660  383664  383666  383668  383669  383670  383672  383673  383674  383676  383678  383682  383684  383688  383690  383694  383700  383702  383708  383712  383714  383718  383724  383730  383732  383738  383742  383744  383750  383754  383760  383768  447090 

+(200÷30)=146

所以,符合条件的数共有200-146=54(个)

点评:分析200个数分为两类,即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类,而不满足条件的这一类标准明确而简单,可考虑用扣除法。

题型7:集合综合题

例11.(1999上海,17)设集合A={x||xa|<2},B={x|<1},若AB,求实数a的取值范围。

解:由|xa|<2,得a-2<x<a+2,所以A={x|a-2<x<a+2}。

<1,得<0,即-2<x<3,所以B={x|-2<x<3}。

因为AB,所以,于是0≤a≤1。

点评:这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的概念及运算,解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。

例12.已知{an}是等差数列,d为公差且不为0,a1d均为实数,它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)| x2y2=1,x,y∈R}。

试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明:

(1)若以集合A中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上;

(2)AB至多有一个元素;

(3)当a1≠0时,一定有AB

解:(1)正确;在等差数列{an}中,Sn=,则(a1+an),这表明点(an,)的坐标适合方程y(x+a1),于是点(an, )均在直线y=x+a1上。

(2)正确;设(x,y)∈AB,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解,由方程组消去y得:2a1x+a12=-4(*),

a1=0时,方程(*)无解,此时AB=

a1≠0时,方程(*)只有一个解x=,此时,方程组也只有一解,故上述方程组至多有一解。

AB至多有一个元素。

(3)不正确;取a1=1,d=1,对一切的x∈N*,有an=a1+(n-1)d=n>0, >0,这时集合A中的元素作为点的坐标,其横、纵坐标均为正,另外,由于a1=1≠0 如果AB,那么据(2)的结论,AB中至多有一个元素(x0,y0),而x0=<0,y0=<0,这样的(x0,y0)A,产生矛盾,故a1=1,d=1时AB=,所以a1≠0时,一定有AB是不正确的。

点评:该题融合了集合、数列、直线方程的知识,属于知识交汇题。

变式题:解答下述问题:

(Ⅰ)设集合,求实数m的取值范围.

  分析:关键是准确理解   的具体意义,首先要从数学意义上解释  的意义,然后才能提出解决问题的具体方法。

解:

的取值范围是UM={m|m<-2}.

(解法三)设这是开口向上的抛物线,,则二次函数性质知命题又等价于

注意,在解法三中,f(x)的对称轴的位置起了关键作用,否则解答没有这么简单。

(Ⅱ)已知两个正整数集合A={a1,a2,a3,a4},

B.

分析:命题中的集合是列举法给出的,只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决,注意“正整数”这个条件的运用,

(Ⅲ)

 

  分析:正确理解

      要使,

k=0时,方程有解,不合题意;

又由

②,

由①、②得

b为自然数,∴b=2,代入①、②得k=1

点评:这是一组关于集合的“交、并”的常规问题,解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容,才能由此寻求解决的方法。

题型6:课标创新题

例13.七名学生排成一排,甲不站在最左端和最右端的两个位置之一,乙、丙都不能站在正中间的位置,则有多少不同的排法?

  解:设集合A={甲站在最左端的位置},

B={甲站在最右端的位置},

C={乙站在正中间的位置},

D={丙站在正中间的位置},

则集合ABCD的关系如图所示,

∴不同的排法有种.

点评:这是一道排列应用问题,如果直接分类、分步解答需要一定的基本功,容易错,若考虑运用集合思想解答,则比较容易理解。上面的例子说明了集合思想的一些应用,在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。

例14.A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合:①对任意,都有 ; ②存在常数,使得对任意的,都有

(1)设,证明:

(2)设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的;

(3)设,任取,令证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式H。

解:

对任意,,,,所以

对任意的

 

  所以0<,

=

所以

反证法:设存在两个使得,

则由

,所以,矛盾,故结论成立。

所以

+…

点评:函数的概念是在集合理论上发展起来的,而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中,题目比较新颖

试题详情

2、,其中,由中的元素构成两个相应的集合:

.其中是有序数对,集合中的元素个数分别为.若对于任意的,总有,则称集合具有性质

(I)对任何具有性质的集合,证明:

(II)判断的大小关系,并证明你的结论.

解:(I)证明:首先,由中元素构成的有序数对共有个.

因为,所以

又因为当时,时,,所以当时,

从而,集合中元素的个数最多为

(II)解:,证明如下:

(1)对于,根据定义,,且,从而

如果的不同元素,那么中至少有一个不成立,从而中也至少有一个不成立.

也是的不同元素.

可见,中元素的个数不多于中元素的个数,即

(2)对于,根据定义,,且,从而.如果的不同元素,那么中至少有一个不成立,从而中也不至少有一个不成立,

也是的不同元素.

可见,中元素的个数不多于中元素的个数,即

由(1)(2)可知,

例9.向50名学生调查对AB两事件的态度,有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对AB都不赞成的学生数比对AB都赞成的学生数的三分之一多1人。问对AB都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?

解:赞成A的人数为50×=30,赞成B的人数为30+3=33,如上图,记50名学生组成的集合为U,赞成事件A的学生全体为集合A;赞成事件B的学生全体为集合B

设对事件AB都赞成的学生人数为x,则对AB都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为33-x。依题意(30-x)+(33-x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以对AB都赞成的同学有21人,都不赞成的有8人

点评:在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩图法等,需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件,想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不清头绪,不好找线索。画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系。

例10.求1到200这200个数中既不是2的倍数,又不是3的倍数,也不是5的倍数的自然数共有多少个?

解:如图先画出Venn图,不难看出不符合条件                 

的数共有(200÷2)+(200÷3)+(200÷5)

试题详情

2. 已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0},若A∩B≠φ,则实数a的取值范围为(      ).

分析:解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过一系列的推理和运算,最后得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情况,这时可从反面去考虑.从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想.本题若直接求解,情形较复杂,也不容易得到正确结果,若我们先考虑其反面,再求其补集,就比较容易得到正确的解答.

解:由题知可解得A={y|y>a2+1或y<a}, B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当A∩B=φ时a的范围.如图

,得

.

即A∩B=φ时a的范围为.而A∩B≠φ时a的范围显然是其补集,从而所求范围为.

评注:一般地,我们在解时,若正面情形较为复杂,我们就可以先考虑其反面,再利用其补集,求得其解,这就是“补集思想”.

例4.已知全集A={1,}如果,则这样的实数是否存在?若存在,求出,若不存在,说明理由

解:∵

,即=0,解得

时,,为A中元素;

时,

时,

∴这样的实数x存在,是

另法:∵

=0且

点评:该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当时,”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号是两层含义:

变式题:已知集合,,求的值。

解:由可知,

(1),或(2)

解(1)得

解(2)得

又因为当时,与题意不符,

所以,

题型3:集合的运算

例5.(2008年河南省上蔡一中高三月考)已知函数的定义域集合是A,函数的定义域集合是B

(1)求集合A、B

(2)若AB=B,求实数的取值范围.

解  (1)A=

B=

(2)由AB=B得AB,因此

所以,所以实数的取值范围是

例6.(2009宁夏海南卷理)已知集合,则(  )

  A.           B.

 C.           D.

答案  A

解析  易有,选A

点评:该题考察了集合的交、补运算。

题型4:图解法解集合问题

例7.(2009年广西北海九中训练)已知集合M=,N=,则                              (   ) 

A.                       B.   

C.                   D.

  答案  C

例8.湖南省长郡中学2008届高三第六次月考试卷数学(理)试卷

设全集,函数的定义域为A,集合,若恰好有2个元素,求a的取值集合。

解:

时,   ∴

,∴

时,在此区间上恰有2个偶数。

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题型1:集合的概念

 (2009湖南卷理)某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱兵乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__

答案  :12

解析  设两者都喜欢的人数为人,则只喜爱篮球的有人,只喜爱乒乓球的有人,由此可得,解得,所以,即 所求人数为12人。   

例1.(2009广东卷理)已知全集,集合

的关系的韦恩(Venn)图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元素共有                        (   )

A. 3个                       B. 2个

C. 1个                       D. 无穷多个

答案  B

解析  由,则,有2个,选B.

例2.(2009山东卷理)集合,,若,则的值

为                                 (   )

A.0      B.1      C.2      D.4

答案  D

解析  ∵,,,故选D.

[命题立意]:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.

题型2:集合的性质

例3.(2009山东卷理)集合,,若,则的值为                                 (   )

A.0      B.1      C.2      D.4

答案  D

解析  ∵,,,故选D.

[命题立意]:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.

随堂练习

1.( 广东地区2008年01月份期末试题汇编)设全集U=R,A={x∈N︱1≤x≤10},B={ x∈R︱x 2+ x-6=0},则下图中阴影表示的集合为         (   )

A.{2}              B.{3}  

C.{-3,2}          D.{-2,3}    

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5.集合的简单性质:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)(AB)=(A)∪(B),(AB)=(A)∩(B)。

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4.交集与并集:

(1)一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合AB的交集。交集

(2)一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合AB的并集。

注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。

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3.全集与补集:

(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U;

(2)若S是一个集合,AS,则,=称S中子集A的补集;

(3)简单性质:1)()=A;2)S==S

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2.集合的包含关系:

(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则称AB的子集(或B包含A),记作AB(或);

  集合相等:构成两个集合的元素完全一样。若ABBA,则称A等于B,记作A=B;若ABAB,则称AB的真子集,记作A   B

(2)简单性质:1)AA;2)A;3)若ABBC,则AC;4)若集合A是n个元素的集合,则集合A有2n个子集(其中2n-1个真子集);

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1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合

(1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作;若b不是集合A的元素,记作

(2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性;

确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立;

互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素;

无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关;

(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;

列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;

描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。

具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。

(4)常用数集及其记法:

非负整数集(或自然数集),记作N;

正整数集,记作N*或N+

整数集,记作Z

有理数集,记作Q;

实数集,记作R。

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有关集合的高考试题,考查重点是集合与集合之间的关系,近年试题加强了对集合的计算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何的直观性,注意运用Venn图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主,分值5分。

预测2010年高考将继续体现本章知识的工具作用,多以小题形式出现,也会渗透在解答题的表达之中,相对独立。具体题型估计为:

(1)题型是1个选择题或1个填空题;

(2)热点是集合的基本概念、运算和工具作用

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