5.一单摆做小角度摆动,其振动图象如图13-1-14所示,以下说法正确的是 　　　　　　

A.t₁时刻摆球速度最大,悬线对它的拉力最小　　　　

B.t₂时刻摆球速度为零,悬线对它的拉力最小　

C.t₃时刻摆球速度为零,悬线对它的拉力最大　　　　

13-1-14

D.t₄时刻摆球速度最大,悬线对它的拉力最大　

13-1-15

6.某同学看到一只鸟落在树枝上的P处,树枝在10 s内上下振动了6次.鸟飞走后,他把50 g的砝码挂在P处,发现树枝在10 s内上下振动了12次,将50 g的砝码换成500 g的砝码后,他发现树枝在15 s 内上下振动了6次.你估计鸟的质量最接近　 　 　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A.50 g　　　 B.200 g　　 C.500 g　　 D.550 g?　

4.弹簧振子在B、C间做简谐运动，O为平衡位置，BC间距离为10cm，B→C运动时间为1s，如图13-1-13所示，则(　 )

A．从O→C→O振子作了一个全振动

B．振动周期为1s，振幅是10cm

C．经过两次全振动，通过的路程是20cm

D．从B开始经3s，振子通过的路程是30cm

3.一弹簧振子作简谐振动，周期为T(　　　　 )

　　 A．若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍

　　 B．若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则上t一定等于T/2的整数倍

　　 C．若Δt=T，则在 t时刻和(t+Δt)时刻振子运动的加速度一定相等

　　 D．若Δt＝T/2，则在t时刻和(t十Δt)时刻弹簧的长度一定相等

2.做简谐运动的弹簧振子，其质量为，最大速度为，则下列说法中正确的是

①振子经过平衡位置时，回复力一定为零

②若振子做减速运动，其加速度一定增加

③振子每次经过同一位置时，速度一定相同

④振子每次经过同一位置时，加速度一定相同

⑤从某时刻算起，在半个周期的时间内，弹力做功一定为零

⑥从某时刻算起，在半个周期的时间内，弹力做的功可能是到之间的某一数值

⑦从某时刻算起，在半个周期的时间内，弹力的冲量一定为零

⑧从某时刻算起，在半个周期的时间内，弹力的冲量可能是到之间的某一数值

.①③⑤

.①②④⑤⑧

.④⑤⑦

.②④⑥⑦

A　 基础达标

1．有一弹簧振子做简谐运动，则　 (　　 )

A．加速度最大时，速度最大　 B．速度最大时，位移最大

C．位移最大时，回复力最大　 D．回复力最大时，加速度最大

2、简谐运动的公式

由简谐运动的公式x＝Asin(ωt+φ)我们可得出简谐运动的振幅、圆频率、某时刻位移的大小和方向及初相，还可进一步由得出周期和频率等。

方法点拨：把振动图象、振动公式和振动的实际位置情景三者有机结合起来进行分析是处理简谐运动图象问题时常用的方法。

　[例题2]如图13－1－10所示，为某一弹簧振子简谐运动的图象。则

A　振动的振幅为6

B　振动的周期6s

C　t＝1.5s时和t＝2.5s时，振子的速度相同

D　t＝2.5s时，振子的加速度正在减小，沿x轴的负方向

解析：由图象t轴直接读得，振动周期为4s；振幅指振动物体离开平衡的最大距离，即振动位移的最大值，由图象直接读得为3m；简谐运动位移图象的斜率仍然代表速度的大小和方向，由图象的对称性可知，t＝1.5s时和t＝2.5s时，速度的大小和方向都是相同的；t＝2.5s时，位移正在沿x轴负方向变大，由F＝－kx，回复力正在沿x轴正方向增大，再据牛顿第二定律，加速度正在增大，沿x轴正方向。故本题答C。

答案：C

[变式训练2](09·天津·8)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为

x＝Asin，则质点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A.第1 s末与第3 s末的位移相同

B.第1 s末与第3 s末的速度相同

C.3 s末至5 s末的位移方向都相同

D.3 s末至5 s末的速度方向都相同

　 解析：由关系式可知，，将t=1s和t=3s代入关系式中求得两时刻位移相同，A对；画出对应的位移-时间图像，由图像可以看出，第1s末和第3s末的速度方向不同，B错；仍由图像可知，3s末至5s末的位移大小相同，方向相反，而速度是大小相同，方向也相同。故C错、D对。

答案：AD

考点3. 受迫振动与共振现象

　剖析： 解决受迫振动、共振有关问题的关键：

(1)受迫振动的频率等于驱动力的频率，与固有频率无关。

(2)发生共振现象的条件是：f_策动力=f_固有

[例题3]如图13－1－11所示，用两端固定在竖直墙壁上的水平轻绳悬挂四个单摆。已知A摆和C摆摆长相等，B摆的摆长远大于A摆的摆长，而D摆摆长稍小于A摆摆长。现把A摆拉离其平衡位置一小角度，由静止释放，使其在垂直于纸面的平面内振动。其余三摆则在其扰动下振动起来。则在其后振动稳定的一段时间内

A　四摆振动频率不同，均以各自固有频率振动

B　四摆振动频率相同

C　B、C、D三摆中，C摆振幅最大

D　B、C、D三摆中，D摆振幅最小

解析：B、C、D三摆均是在A摆的驱动下振动起来的。所以，A摆为驱动摆，视作自由振动，应按其固有频率振动，与B、C、D三摆均无关；而B、C、D三摆均做受迫振动，不能按其固有频率振动，故A项错，B、C、D三摆频率应均等于驱动力的频率，即A摆的频率，故B项对。B、C、D三受迫振动摆中，C摆的摆长与A摆相等，所以其固有频率相等，即对C摆来说，驱动力的频率等于其固有频率，所以C摆能达到共振状态，故B、C、D三摆中，C摆振幅最大，C对。由共振曲线，驱动力的频率远离固有频率越多，受迫振动的振幅越小。B、C、D三摆中，B摆摆长较A摆差别最大，故其固有频率较驱动力频率差别最多，振幅也就最小，故D项错。

答案：BC。

[变式训练3]把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛。不开电动机让这个筛子自由振动时，完成20次全振动用15s；在某电压下，电动偏心轮的转速是88r/min。已知增大电动偏心轮的电压可以使其转速提高，而增加筛子的总质量可以增大筛子的固有周期。为使共振筛的振幅增大，以下做法正确的是

A．降低输入电压　 B．提高输入电压　　 C．增加筛子质量　 D．减小筛子质量

解析：筛子的固有频率为f_固=4/3Hz，而当时的驱动力频率为f_驱=88/60Hz，即f_固< f_驱。为了达到振幅增大，应该减小这两个频率差，所以应该增大固有频率或减小驱动力频率。

答案：AD。

考点4. 单摆周期公式及应用

剖析：

(1) 周期公式：T_固=2π，T_固与振幅、摆球的质量无关，取决于摆长和当地重力加速度。

(2) 单摆的应用：计时器；测重力加速度

　[例题4]摆长为L的单摆做简谐振动，若从某时刻开始计时，(取作t=0)，当振动至 时，摆球具有负向最大速度，则单摆的振动图象是图13-1-12中的(　 )　

13-1-12

　解析：从t=0时经过时间，这段时间为，经过 摆球具有负向最大速度，说明摆球在平衡位置，在给出的四个图象中，经过具有最大速度的有C、D两图，而具有负向最大速度的只有D。

答案：D

点评：搞清楚单摆在最低点处速度最大，但此时速度为0

[变式训练4]已知某摆长为1m的单摆在竖直平面内做简谐运动，则：(1)该单摆的周期为　　　 ；(2)若将该单摆移到表面重力加速度为地球表面重力加速度1／4倍的星球表面，则其振动周期为　　 ；(3)若在悬点正下方摆长中点处钉一光滑小钉，则该小球摆动的周期为　　　　 。

解析：第一问我们可以利用单摆周期公式计算出周期；第二问是通过改变当地重力加速度来改变周期的。只要找出等效重力加速度，代入周期公式即可得解。第三问的情况较为复杂，此时小球的摆动已不再是一个完整的单摆简谐运动。但我们注意到，小球在摆动过程中，摆线在与光滑小钉接触前后，分别做摆长不同的两个简谐运动，所以我们只要求出这两个摆长不同的简谐运动的周期，便可确定出摆动的周期。

解答：(1)依据，可得T=2s。

(2)等效重力加速度为，则依据

，可得s。

(3)钉钉后的等效摆长为：半周期摆长为L₁＝1m，另半周期摆长为L₂＝0.5m。

则该小球的摆动周期为：

s

说明：单摆做简谐运动的周期公式是我们学习各种简谐运动中唯一给出定量关系的周期公式。应该特别注意改变周期的因素：摆长和重力加速度。例如：双线摆没有明确给出摆长，需要你去找出等效摆长；再例如：把单摆放入有加速度的系统中，等效重力加速度将发生怎样的变化。比如把单摆放入在轨道上运行的航天器中，因为摆球完全失重，等效重力加速度为0，单摆不摆动。把单摆放入混合场中，比如摆球带电，单摆放入匀强电场中，这时就需要通过分析回复力的来源从而找出等效重力加速度。这类问题将在电学中遇到

1、简谐运动的图象

在振动图象(如图13－1－9)上，我们可直接读出简谐运动的振幅、周期、某时刻位移的大小和方向、初相等，还可进一步得出振动的频率、速度、回复力、加速度的方向和大小变化情况。

2、对称性的应用：

(1)利用对称性，可以解决简谐运动的动力学或能量问题，如固定在竖直弹簧上做简谐运动的物体，若已知最高点的位置、回复力或加速度，则可根据对称性求出最低点的位置、回复力或加速度，进一步可得弹簧的弹力等物理量。

(2)由于简谐运动具有周期性、往复性、对称性，因此涉及简谐运动时，往往出现多解。分析此类问题时，特别要注意，物体在某一位置时，位移是确定的，而没有指明运动方向的话，速度(方向)不确定可能带来多解，没有指明是第一次到达该位置的话，时间的周期性重复也可能带来多解。

[例题1]如图13－1－7所示，弹簧振子在AB两点间简谐运动，O点为其平衡位置。振动过程中，振子经M、N两点的速度相同，若它从M到N历时0.2s，从N再回到M的最短时间为0.4s，则该振子的振动频率为

A　 1Hz　　 　 B　 1.25Hz 　　　 　C　 2Hz　　　　 　 D　 2.5Hz

解析：振子经M、N两点速度相同，根据弹簧振子的运动特点，不难判断M、N两点关于平衡位置(O点)一定是对称的。“从M到N历时0.2s，从N再回到M的最短时间为0.4s。”可推理知，从点M向右经O点直接到N点历时0.2s，从点N继续向右，达最大位移处B点后，向左直接返回M点，历时0.4s。据对称性，振子由N经O向左直接到M所用的时间也应是0.2s，则，振子从N经B到N历时0.2s，同理，振子从M经A到M，也历时0.2s，故该振子的周期T＝0.8s，根据周期和频率互为倒数的关系，不难确定该振子的振动频率为1.25Hz。故本题答B。

答案： B

[变式训练1]如图13-1-8所示，一个轻弹簧竖直固定在水平地面上，将一个小球轻放在弹簧上，M点为轻弹簧竖直放置时弹簧顶端位置，在小球下落的过程中，小球以相同的动量通过A、B两点，历时1s，过B点后再经过1s，小球再一次通过B点，小球在2s内通过的路程为6cm，N点为小球下落的最低点，则小球在做简谐运动的过程中：(1)周期为　　　 ；(2)振幅为　　 ；(3)小球由M点下落到N点的过程中，动能E_K、重力势能E_P、弹性势能E_P’的变化为　　　 ；(4)小球在最低点N点的加速度大小__　 _　　　　 _重力加速度g(填>、＝、<)。

13-1-8

解析：(1)小球以相同动量通过A、B两点，由空间上的对称性可知，平衡位置O在AB的中点；再由时间上的对称性可知，t_AO=t_BO=0.5s， t_BN = t_NB =0.5s，所以t_ON＝t_OB+t_BN＝1s，因此小球做简谐运动的周期T＝4t_ON=4s。

(2)小球从A经B到N再返回B所经过的路程，与小球从B经A到M再返回A所经过的路程相等。因此小球在一个周期内所通过的路程是12cm，振幅为3cm。

(3)小球由M点下落到N点的过程中，重力做正功，重力势能减少；弹力做负功，弹性势能增加；小球在振幅处速度为零，在平衡位置处速率最大，所以动能先增大后减小。

(4)M点为小球的振幅位置，在该点小球只受重力的作用，加速度为g，方向竖直向下，由空间对称性可知，在另一个振幅位置(N点)小球的加速度大小为g，方向竖直向上。

解答：4s；3cm；E_K先增大后减小，E_P减少，E_P’ 增加；＝。

考点2. 简谐运动的图象和公式

剖析：

考点1. 简谐运动的对称性和多解问题

剖析：

1、对称性的含义：

(1)瞬时量的对称性：简谐运动的物体，在关于平衡位置对称的两点，位移、回复力、加速度具有等大反向的关系，速度、动能、势能的大小也具有对称性。但速度的方向不一定对称。

(2)过程量的对称性：振动的质点先后通过两点后，再次原路返回的过程中，时间等过程量相等；振动的质点先后通过两点后，再沿对称的路线返回的过程中，时间等过程量相等。如：图13－1－6中，弹簧振子在AB两点间简谐运动，点O为其平衡位置，M为AO的中点，N为OB的中点，则弹簧振子在以上点间运动时，有t_AO＝t_OB＝t_BO＝t_OA，t_MON＝t_NOM，t_AM＝t_BN，t _MAN＝t_NAM，t _MONBN＝t_NOMAM等关系，但t_AM≠t_MO，t_MON≠t_NBOM。

(四)．单摆

单摆的振动是一种比较特殊的__________，对它的学习可以加深我们对简谐运动的理解。

1、单摆：在细线的一端挂上一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的伸缩和质量可以______，球的直径比线长______得多，这样的装置叫做单摆．

这是一种_________的模型，理想的单摆应具备如下理想化条件：和小球的质量m相比，线的质量可以_______；与线的长度l相比，小球的半径可以_______。

2、单摆的受力特征

当单摆做小角度摆动时，其受力情况为：受到一个恒定的竖直向下的重力mg，和一个变化的始终沿绳方向指向点的拉力F，而将这些力沿垂直于和平行于运速度方向分解，其中垂直于速度方向上的力使摆球的速度方向发生改变，充当摆球绕悬点做变速圆周运动所需的向心力。平行于速度方向上的力使摆球的速度大小发生改变，充当摆球的回复力

13-1-5

由图可知：(当很小时，一般小于10°)

令

可见：当单摆做小角度摆动时，其运动近似为简谐运动。

图2中，G₁不能认为等于重力G和拉力T的合力，因为T与G₂一般不相等，不能抵消。一般情况下：，且

即T与G₂的合力作为向心力。

特殊地：当单摆位于左、右两端最大位移位时，因为此时

3、单摆的周期公式

对于单摆，回复力与偏离平衡位置的位移的比例系数为

将其代入简谐运动周期的一般表达式中，得

与摆球质量m、振幅A都无关。其中摆长l指悬点到小球重心的距离，重力加速度为单摆所在处的测量值。要区分摆长和摆线长。

小球在光滑圆弧上的往复滚动和单摆完全等同。只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动。这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差。

4、单摆的等时性，从该式中可以看出，单摆的周期只与摆长及重力加速度有关，与振幅(即偏角)无关，这一性质叫做单摆的__________。

5、秒摆：周期为________的单摆．其摆长约为_______.

6、等效摆长和等效加速度：实际应用中：不同环境下的单摆，如放在加速运动的升降机中，或将单摆放在匀强电场中，需将单摆周期公式：中的g换成视重加速度，视重加速度等于摆锤相对悬点静止时，悬线拉力与摆锤质量的比值。

7、单摆的应用：

①计时器；

②测定重力加速度g，