3.(08全国卷2)一列简谐横波沿x轴正方向传播，振幅为A。t=0时， 平衡位置在x=0处的质元位于y=0处， 且向y轴负方向运动；此时，平衡位置在x=0.15m处的质元位于y=A处．该波的波长可能等于

A．0.60m

B．0.20m

C．0.12m

D．0.086m

2.(08全国卷1)一列简谐横波沿x轴传播，周期为T，t=0时刻的波形如图13-2-15所示.此时平衡位置位于x=3 m处的质点正在向上运动，若a、b两质点平衡位置的坐标分别为x_a=2.5 m, x_b=5.5 m,则

A.当a质点处在波峰时，b质点恰在波谷

B.t=T/4时，a质点正在向y轴负方向运动

13-2-15

C.t=3T/4时，b质点正在向y轴负方向运动

D.在某一时刻，a、b两质点的位移和速度可能相同

A　 基础达标　

1.简谐机械波在给定的媒质中传播时，下列说法中正确的是(　 )

A．振幅越大，则波传播的速度越快；

B．振幅越大，则波传播的速度越慢；

C．在一个周期内，振动质元走过的路程等于一个波长；

D．振动的频率越高，则波传播一个波长的距离所用的时间越短。

5.介质中质点的振动方向未定

　　 在波的传播过程中，质点振动方向与传播方向联系，若某一质点振动方向未确定，则波的传播方向有两种，这样形成多解．

　　 说明：波的对称性：波源的振动要带动它左、右相邻介质点的振动，波要向左、右两方向传播．对称性是指波在介质中左、右同时传播时，关于波源对称的左、右两质点振动情况完全相同．

[例题3]　如图13-2-9实线是某时刻的波形图象，虚线是经过0.2s时的波形图象。求：

①波传播的可能距离 ②可能的周期(频率)

13-2-9

③可能的波速　 ④若波速是35m/s，求波的传播方向　

⑤若0.2s小于一个周期时，传播的距离、周期(频率)、波速。

解析：①题中没给出波的传播方向，所以有两种可能：向左传播或向右传播。

向左传播时，传播的距离为x=nλ+3λ/4=(4n+3)m　 (n=0、1、2　 …)

向右传播时，传播的距离为x=nλ+λ/4=(4n+1)m　 (n=0、1、2　 …)

②向左传播时，传播的时间为t=nT+3T/4得：T=4t/(4n+3)=0.8 /(4n+3)(n=0、1、2　 …)

向右传播时，传播的时间为t=nT+T/4得：T=4t/(4n+1)=0.8 /(4n+1)　 (n=0、1、2　 …)

③计算波速，有两种方法。v=x/t　 或v=λ/T

向左传播时，v=x/t=(4n+3)/0.2=(20n+15)m/s. 或v=λ/T=4 (4n+3)/0.8=(20n+15)m/s.(n=0、1、2　 …)

向右传播时，v=x/t=(4n+1)/0.2=(20n+5)m/s. 或v=λ/T=4 (4n+1)/0.8=(20n+5)m/s. (n=0、1、2　 …)

④若波速是35m/s，则波在0.2s内传播的距离为x=vt=35×0.2m=7m=1λ，所以波向左传播。

⑤若0.2s小于一个周期，说明波在0.2s内传播的距离小于一个波长则：

向左传播时，传播的距离x=3λ/4=3m；传播的时间t=3T/4得：周期T=0.267s；波速v=15m/s.向右传播时，传播的距离为λ/4=1m；传播的时间t=T/4得：周期T=0.8s；波速v =5m/s.

点评：做此类问题的选择题时，可用答案代入检验法。

[变式训练3]如图13-2-10所示，在波的传播方向上有两个质点和，它们的平衡位置相距，且大于一个波长，波速，质点和的振动图象分别如图所示，试求振动周期的最大值，并以质点的平衡位置为坐标原点，画出与最大周期对应的时的波形图。

13-2-10

解析：由于题目中没有明确波的传播方向，所以分以下两种情况进行讨论：

⑴若波由质点向质点传播，根据题目中给出的振动图象可知，质点的振动在时间上至少比质点落后，因而和两质点平衡位置之间的距离至少是，由波的周期性，则与的关系应该为

　　　　 ，……

解得　　 ，……

故，波的周期为

　　　　 ，……

显然，当时和均有最大值，分别为

　　　　 ，

由题中的振动图象可知：时，质点在正的最大位移上，而质点处在平衡位置，并且即将发生正方向的位移。再根据上面的分析讨论和题中条件，则有

　　　　

所以，画出与最大周期相对应的时的波形图如图11所示。

⑵若波由质点向质点传播，分析思路、方法同⑴，可得出周期和波长的最大值分别为

　　　 　，

与最大周期相对应的时的波形图如图所示。

命题解读：①这是一个由波的传播方向不确定和振动质点平衡位置之间的距离和波长关系的不确定造成的多解问题。由于题目中没有告诉波具体的传播方向，所以解题时应分两种情况进行讨论求解；在每一种传播方向的分析中，又由于和两质点平衡位之间的距离和波长的关系存在多种可能性，所以必须列出通式进行讨论。

②这又是一个振动图象和波的图象相结合的问题，是一类稍有难度的综合题目：由振动图象分析出质点间的位置关系、某一时刻振动质点的运动方向等，利用得到的这些信息，列式求解、讨论，最后根据题目要求画出波的图象。

③根据振动图象分析质点的运动方向时，看的是与题中所给的这一时刻相距极短时间间隔的下一时刻质点的位移变化情况，例如，若是正的位移增加，就说明质点在那一时刻的运动方向是沿正方向的，否则就是沿负方向运动的等等。在这点上，与根据波的传播方向判断质点的运动方向的方法是不一样的。

④解题时还要注意题目给定的条件，如本题中和平衡位置相距，且大于一个波长这个条件，如果注意不到，列出和进行讨论时，就可能将的取值写成……，会取代入而得出错误的结果。

考点4. 波的叠加问题

剖析：

解答这种问题时，一般先画出两列波叠加时各自的波形，然后根据两列波叠加时的位移关系，确定合振动的位移，从而确定波形或质点的其它振动参量。

[例题4]如图13-2-11所示，一波源在绳的左端发生半个波1，频率为f₁，振幅为A₁；同时另一波源在绳的右端发生半个波2，频率为f₂，振幅为A₂。图中AP=PB，由图可知(　 )

13-2-11

A、两列波同时到达P点；

B、两列波相遇时，P点的波峰可达(A₁+A₂)；

C、两列波相遇后各自保持原来波形独立传播；

D、两列波相遇时，绳上振幅可达(A₁+A₂)的质点只有一点。

解析：1、2两列波在同一条绳上传播，波速相同，所以A、B的运动状态传播相同距离历时相同，两列波应同时到达P点，选项A是正确的；两列波到达P点后，在彼此穿过区间，P处质点的位移为两列波独立引起的位移之和，由于两波频率不同，波长不同，相向传播时，两波峰不会同时到达P点，故在P处两列波叠加的位移峰值不会达到(A₁+A₂)，选项B是错误的；两波峰可同时到达的一点应是与图28中现正处于波峰的两质点的平衡位置等距的一点：如果f₁>f₂，则λ₁<λ₂，则P点右侧某处质点振幅可达到(A₁+A₂)，而如果f₁<f₂，则λ₁>λ₂，则P点左侧某处质点振幅可达到(A₁+A₂)，选项D是正确的；根据波的叠加原理，两列波相遇后各自保持原来的波形，即如选项C所述。

综上所述，本题正确答案为ACD。

[变式训练4]两列沿相反方向传播的振幅和波长都相同的半波，如图13-2-12(甲)所示，在相遇的某一时刻两列波“消失”，如图13-2-13(乙)，此时图中a、b质点的振动方向是：(　　　 )

A．a向上，b向下；　 B．a向下，b向上；

C．a、b都静止；　　 D．a、b都向上。

解析：两列波在相遇的某一时刻两列波“消失”了，是因为两列波分别引起各质点的位移矢量和为零。但两列波分别引起各质点总的振动速度的矢量和不为零。对于a点，波1使其振动的速度为零，波2使其振动的速度也向下，故a点的振动合速度应向下。而对于b点，波1使其振动的速度方向向上，波2使其振动的速度为零，故b点的振动合速度应向上。所以B选项正确

考点5. 波的干涉现象

剖析：

①加强、减弱点的位移与振幅．

加强处和减弱处都是两列波引起的位移的矢量和，质点的位移都随时间变化，各质点仍围烧平衡位置振动，与振源振动周期相同．

加强处振幅大，等于两列波的振幅之和，即A=A₁ +A₂,质点的振动能量大，并且始终最大．

减弱处振幅小，等于两列波的振福之差，即A=∣A₁－A₂∣,质点振动能量小，并且始终最小，若A₁=A₂，则减弱处不振动．

加强点的位移变化范围： 一∣A₁ +A₂∣-∣A₁ +A₂∣

减弱点的位移变化范围：一∣A₁－A₂∣-∣A₁－A₂∣

②干涉是波特有的现象．

③加强和减弱点的判断．

波峰与波峰(波谷与波谷)相遇处一定是加强的，并且用一条直线将以上加强点连接起来，这条直线上的点都是加强的；而波峰与波谷相遇处一定是减弱的，把以上减弱点用直线连接起来，直线上的点都是减弱的．加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点振幅之间．

[例题3] 如图13-2-13所示，S₁、S₂是两个相干波源，它们振动同步且振幅相同。实线和虚线分别表示在某一时刻它们所发出的波的波峰和波谷。关于图中所标的a、b、c、d四点，下列说法中正确的有

13-2-13

A．该时刻a质点振动最弱，b、c质点振动最强，d质点振动既不是最强也不是最弱

B．该时刻a质点振动最弱，b、c、d质点振动都最强

C．a质点的振动始终是最弱的， b、c、d质点的振动始终是最强的

D．再过T/4后的时刻a、b、c三个质点都将处于各自的平衡位置，因此振动最弱

解析：该时刻a质点振动最弱，b、c质点振动最强，这不难理解。但是d既不是波峰和波峰叠加，又不是波谷和波谷叠加，如何判定其振动强弱？这就要用到充要条件：“到两波源的路程之差是波长的整数倍”时振动最强，从图中可以看出，d是S₁、S₂连线的中垂线上的一点，到S₁、S₂的距离相等，所以必然为振动最强点。

答案：B、C

点评：描述振动强弱的物理量是振幅，而振幅不是位移。每个质点在振动过程中的位移是在不断改变的，但振幅是保持不变的，所以振动最强的点无论处于波峰还是波谷，振动始终是最强的。

[变式训练3]如图13-2-14所示表示两列相干水波的叠加情况，图中的实线表示波峰，虚线表示波谷。设两列波的振幅均为5 cm，且图示的范围内振幅不变，波速和波长分别为1m/s和0.5m。C点是BE连线的中点，下列说法中正确的是　 (　　 )

A．C、E两点都保持静止不动

B．图示时刻A、B两点的竖直高度差为20cm

C．图示时刻C点正处于平衡位置且向水面上运动

13-2-14

D．从图示的时刻起经0.25s，B点通过的路程为20cm

解析：由波的干涉知识可知图6中的质点A、B、E的连线处波峰和波峰或波谷和波谷叠加是加强区，过D、F的连线处和过P、Q的连线处波峰和波谷叠加是减弱区。C、E两点是振动的加强点，不可能静止不动。所以选项A是错误的。

在图示时刻，A在波峰，B在波谷，它们振动是加强的，振幅均为两列波的振幅之和，均为10cm，此时的高度差为20cm，所以B选项正确。

A、B、C、E均在振动加强区，且在同一条直线上，由题图可知波是由E处向A处传播，在图示时刻的波形图线如右图所示，由图可知C点向水面运动，所以C选项正确。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

波的周期T=/v = 0.5s，经过0.25s，即经过半个周期。在半个周期内，质点的路程为振幅的2倍，所以振动加强点B的路程为20cm，所以D选项正确。

答案：BCD

4.介质中两质点间的距离与波长关系未定

　　 在波的传播方向上，如果两个质点间的距离不确定，就会形成多解，解题时若不能联想到所有可能情况，易出现漏解．

3.波的双向性

　　 双向性是指波沿正负方向传播时，若正、负两方向的传播时间之和等于周期的整数倍，则沿正负两方向传播的某一时刻波形相同．

2.波的时间的周期性

　　 在x轴上同一个给定的质点，在t+nT时刻的振动情况与它在t时刻的振动情况(位移、速度、加速度等)相同．因此，在t时刻的波形，在t+nT时刻会多次重复出现．这就是机械波的时间的周期性．

波的时间的周期性，表明波在传播过程中，经过整数倍周期时，其波的图象相同．

1.波的空间的周期性

　　 沿波的传播方向，在x轴上任取一点P(x)，如图所示，P点的振动完全重复波源O的振动，只是时间上比O点要落后Δt，且Δt =x/v=xT₀/λ.在同一波线上，凡坐标与P点坐标x之差为波长整数倍的许多质点，在同一时刻t的位移都与坐标为λ的质点的振动位移相同，其振动速度、加速度也与之相同，或者说它们的振动“相貌”完全相同．因此，在同一波线上，某一振动“相貌”势必会不断重复出现，这就是机械波的空间的周期性．

　　 空间周期性说明，相距为波长整数倍的多个质点振动情况完全相同．

2.波动特点

(1)波上的每个质点都围绕其平衡位置振动，而不随波动的传播而迁移，每个质点的振幅、周期都与振源的振幅、周期分别相等。

(2)波是因质点的振动先后来进行传播，沿波的传播方向，总是先振动的质点依次带动后振动的质点的运动。

[例题1](09年四川卷19.)图13-2-5示为一列沿x轴负方向传播的简谐横波，实线为t＝0时刻的波形图，虚线为t＝0.6 s时的波形图，波的周期T＞0.6 s，则

13-2-5

A.波的周期为2.4 s

B.在t＝0.9s时，P点沿y轴正方向运动

C.经过0.4s，P点经过的路程为4m

D.在t＝0.5s时，Q点到达波峰位置

解析：根据题意应用平移法可知T＝0.6s，解得T＝0.8s，A错；由图可知振幅A＝0.2m、波长λ＝8m。t＝0.9s＝1T，此时P点沿y轴负方向运动，B错；0.4s＝T，运动路程为2A＝0.4m，C错； t＝0.5s＝T＝T+T，波形图中Q正在向下振动，从平衡位置向下振动了T，经T到波谷，再过T到波峰，D对。

答案：D

点评：本题考查了对横波理解，知道波的传播实际上是波形的传播，同时又考查了波的周期性问题，双向传播可能性问题，是一道综合能力要求较高的题目

[变式训练1]一列简谐横波，在t＝0时的波形图如图13-2-6所示，P、Q两点的x坐标分别为－1m、－7m，波的传播方向由右向左(即沿x轴负方向)，已知t＝0.7s时，P质点第二次出现波峰，则以下叙述正确的是()

13-2-6

A．t＝1.2s时，Q质点第一次出现波峰

B．t＝0.9s时，Q质点第一次出现波峰

C．波源的起振方向一定沿y轴正方向

D．质点Q位于波峰时，质点P正好位于波谷

解析：根据“前锋波”特点(1)知，P点第一次出现波峰，应是t＝0时处于x＝2m处的波峰传播到P处，传播了个波长的距离，用时为个周期。当P点第二次出现波峰时，再用时一个周期，所以有

，

解得　 T＝0.4s

波速　

Q点第一次出现波峰是t＝0时刻处于x＝2m处的波峰匀速传播至x＝－7m处，所以

，

B选项正确。

由所给的波的图象和“前锋波”特点(4)可知，波源的起振方向沿y轴正方向，C选项正确。

由于　 ，

所以D选项也正确。

考点2.波动图象和振动图象的关系

剖析：

波动图象和振动图象的形状相似，都是正弦或余弦曲线，其物理意义有本质的区别，但它们之间又有联系，因为参与波动的质点都在各自的平衡位置附近振动，质点振动的周期也等于波动的周期。

解决两种图象结合的问题的基本思路

(1)首先识别哪一个是波的图象，哪一个是振动图象，两者间的联系纽带是周期与振幅。

(2)再从振动图象中找出某一质点在波的图象中的那一时刻的振动方向，然后再确定波的传播方向及其他问题。

[例题2](09年福建卷17).图13-2-7甲为一列简谐横波在t=0.10s时刻的波形图，P是平衡位置为x=1 m处的质点，Q是平衡位置为x=4 m处的质点，图乙为质点Q的振动图象，则

13-2-7

A.t=0.15s时，质点Q的加速度达到正向最大

B.t=0.15s时，质点P的运动方向沿y轴负方向

C.从t=0.10s到t=0.25s，该波沿x轴正方向传播了6 m

D.从t=0.10s到t=0.25s，质点P通过的路程为30 cm

解析：由y-t图像知，周期T=0.2s，且在t=0.1sQ点在平衡位置沿y负方向运动，可以推断波没x负方向传播，所以C错；

从t=0.10s到t=0.15s时，Δt=0.05s=T/4，质点Q从图甲所示的位置振动T/4到达负最大位移处，又加速度方向与位移方向相反，大小与位移的大小成正比，所以此时Q的加速度达到正向最大，而P点从图甲所示位置运动T/4时正在由正最大位移处向平衡位置运动的途中，速度沿y轴负方向，所以A、B都对；

振动的质点在t=1T内，质点运动的路程为4A；t=T/2，质点运动的路程为2A；但t=T/4，质点运动的路程不一定是1A；t=3T/4，质点运动的路程也不一定是3A。本题中从t=0.10s到t=0.25s内，Δt=0.15s=3T/4，P点的起始位置既不是平衡位置，又不是最大位移处，所以在3T/4时间内的路程不是30cm

答案：AB

点评：振动图象与波的图象的结合问题，要注意深刻理解每种图象表达的本质，注意联系与区别，防止干扰，比如振动图象中时间轴是单向的，波动图象中，波的传播方向有两种可能。

[变式训练2]如图13-2-8所示，甲为某一简谐横波在t=1.0s时刻的图象，乙为参与波动的某一质点的振动图象。

13-2-8

(1)两图中的AA’、OC各表示什么物理量？量值各是多少？

(2)说明两图中OA ’B段图线的意义？

(3)该波的波速为多大？

(4)画出再经过0.25s后的波动图象和振动图象。

(5)甲图中P点此刻的振动方向。

解析：依据波动图象和振动图象的物理意义来分析判断。注意振动图象和波动图象的区别与联系。

(1)甲图中的AA’表示振幅A和x=1m处的质点在t=1.0s时对平衡位置的位移，振幅A=0.2m，位移y=-0.2m；甲图中OC表示波长，大小l=4m。乙图中AA’即是质点振动的振幅，又是t=0.25s时质点偏离平衡位置的位移，振幅A=0.2m，位移y=-0.2m;OC表示质点振动的周期，大小T=1.0s。

(2)甲图中的OA’B段图线表示O到B之间的各质点在t=1.0s时相对平衡位置的位移，OA间各质点正向着平衡位置运动，AB间各质点正在远离平衡位置运动。乙图中的OA’B段图线表示该质点在t=0~0.5s时间内振动位移随时间变化的情况，在0~0.25s内该质点正远离平衡位置运动，在0.25s~0.2s内该质点正向平衡位置运动。

(3)由v=l/t可得波速v=m/s= 4m/s

(4)再过0.25s，波动图象向右平移Dx=vDt=0.25´4m=1m=l/4;振动图象在原有的基础上向后延伸T/4，图象分别如图丙、丁所示

　

(5)已知波的传播方向(或某质点的振动方向)判定图象上该时刻各质点的振动方向(或波的传播方向)，常用方法如下：

a．带动法：根据波动过程的特点，利用靠近波源的点带动它邻近的离波源稍远的点的特性，在被判定振动方向的点P附近图象上靠近波源一方找一点P’，若在P点的上方，则P’带动P向上运动，如图所示；若P’在P点的下方，则P’带动P向下运动。

b．微平移法：将波形沿波的传播方向做微小移动Dx<l/4，根据质点P相对平衡位置位移的变化情况判断质点P的运动方向。

c．口诀法：沿波的传播方向看，“上山低头，下山抬头”，其中“低头”表示质点向下运动，“抬头” 表示质点向上运动。

故P向上振动。

考点3.波的多解问题

剖析：

考点1. 机械波的形成与传播特点

剖析：

1.从波的形成过程可知，介质中的每个质点是在波源或前一个质点的作用下做受迫振动的，因此根据受迫振动的知识不难得出：形成波的介质中的所有质点振动的周期都是一样的，都由波源决定，当波源做简谐运动时，介质中各质点也都做同样的简谐运动。因为介质中各质点的振动规律都与波源的振动规律相同，所以通过波传递了波源的振动信息，使远处的质点能获得这一信息， 所以波广泛用于对信息的传递。