19.(本小题满分12分)设集合A＝{x|x²－3x+2＝0}，B＝{x|x²+2(a+1)x+(a²－5)＝0}.

(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；

(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围.

解：由x²－3x+2＝0得x＝1或x＝2，

故集合A＝{1,2}.

(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，

得a²+4a+3＝0⇒a＝－1或a＝－3；

当a＝－1时，B＝{x|x²－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；

当a＝－3时，B＝{x|x²－4x+4＝0}＝{2}，满足条件；

综上，a的值为－1或－3；

(2)对于集合B，Δ＝4(a+1)²－4(a²－5)＝8(a+3).

∵A∪B＝A，∴B⊆A，

①当Δ<0，即a<－3时，B＝∅满足条件；

②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；

③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，

则由根与系数的关系得

矛盾；

综上，a的取值范围是a≤－3.

18.(本小题满分12分)命题p：－2＜m＜0,0＜n＜1，命题q：关于x的方程x²+mx+n＝0有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件.

解：p是q的必要条件，但不是q的充分条件.

这是因为：若x²+mx+n＝0有两根x₁、x₂，则由根与系数的关系知x₁+x₂＝－m，x₁x₂＝n.

又0＜x₁，x₂＜1，

∴－2＜m＜0,0＜n＜1，即q⇒p，

∴p是q的必要条件.

由m＝－1，n＝时方程x²+mx+n＝0可化为x²－x+＝0，∵Δ＝1－4×＝－1＜0，

∴方程没有实根，知p　 　q，

∴p是q的必要不充分条件.

17.(本小题满分12分)判断下列命题的真假.

(1)∀x∈R，都有x²－x+1＞.

(2)∃α，β使cos(α－β)＝cosα－cosβ.

(3)∀x，y∈N，都有x－y∈N.

(4)∃x₀，y₀∈Z，使得x₀+y₀＝3.

解：(1)真命题，∵x²－x+1＝(x－)²+≥＞.

(2)真命题，如α＝，β＝，符合题意.

(3)假命题，例如x＝1，y＝5，但x－y＝－4∉N.

(4)真命题，例如x₀＝0，y₀＝3符合题意.

16.下列结论：

①若命题p：∀x∈(3，+∞)，x²>2x+1；命题q：∀x∈(，π)，tanx>sinx.则命题“p∧　 q”是真命题；

②已知直线l₁：ax+3y－1＝0，l₂：x+by+1＝0，则l₁⊥l₂的充要条件是＝－3；

③命题：“所有末位数字是0的整数都能被5整除”的否定是假命题.其中正确结论的序号为　　(把你认为正确结论的序号都填上).

解析：①中命题p为真命题，命题q为假命题，所以p∧　 q为真命题，故①正确；

②当b＝a＝0时，有l₁⊥l₂，故②不正确；

③正确.所以正确结论的序号为①③.

答案：①③

15.(2010·济南模拟)设集合A＝{(x，y)|y≥|x－2|}，B＝{(x，y)|y≤－|x|+b}，A∩B≠∅.

(1)b的取值范围是　　　.

(2)若(x，y)∈A∩B，且x+2y的最大值为9，则b的值是　　　.

解析：集合A为折线y＝|x－2|及其上方区域内的

点所组成的集合，集合B为折线y＝－|x|+b及其下

方的区域内的点所组成的集合，A∩B就是这两个区

域的公共部分，如图所示.

(1)由图可知，当且仅当b≥1时，A∩B≠∅，故b的取值范围　　　

是[1，+∞).

(2)由图可知，当(x，y)∈A∩B时，目标函数z＝x+2y在点(0，b)处取得最大值9，所以b＝.

答案：[1，+∞)　

14.已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面.

命题p：若α∥β，m?α，n?β，则m∥n；

命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；

下面的命题中，①p或q；②p且q；③p或　 q；④　 p且q.

真命题的序号是　　(写出所有真命题的序号).

解析：∵命题p是假命题，命题q是真命题.

∴　 p是真命题， 　q是假命题，

∴p或q是真命题，p且q是假命题，

p或　 q是假命题， 　p且q是真命题.

答案：①④

13.命题“∃x∈R，x≤1或x²>4”的否定是　　　　.

解析：已知命题为存在性命题，故其否定应是全称命题.

答案：∀x∈R，x>1且x²≤4

12.下列各小题中，p是q的充要条件的是　　 　　　　　　　　　　　　　　　(　)

①p：m<－2或m>6；q：y＝x²+mx+m+3有两个不同的零点

②p：＝1；q：y＝f(x)是偶函数

③p：cosα＝cosβ；q：tanα＝tanβ

④p：A∩B＝A；q：∁_UB⊆∁_UA

A.①②　 　　　　B.②③　　　　　 C.③④　 　　　　　D.①④

解析：①y＝x²+mx+m+3有两个不同的零点⇔Δ>0⇔m<－2或m>6，

∴p是q的充要条件.

②y＝f(x)＝x²是偶函数，但没意义，

即≠1.∴p不是q的充要条件.

③当α＝β＝时cosα＝cosβ，但此时tanα，tanβ都没意义，∴tanα≠tanβ.∴p不是q的充要条件.

④由维恩图　　　　　　 ，可得A∩B＝A⇔∁_UB⊆∁_UA.

答案：D

11.下列说法正确的是　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　(　)

A.函数y＝2sin(2x－)的图象的一条对称轴是直线x＝

B.若命题p：“存在x∈R，x²－x－1＞0”，则命题p的否定为：“对任意x∈R，x²－x－1≤0”

C.若x≠0，则x+≥2

D.“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x+ay＝0互相垂直”的充要条件

解析：对于A，令2x－＝kπ+，k∈Z，则x＝+，k∈Z，即函数y＝2sin(2x－)的对称轴集合为{x|x＝+，k∈Z}，x＝不适合，故A错；对于B，存在性命题的否定为全称命题，故B正确；对于C，当x＜0时，有x+≤－2；对于D，a＝－1时，直线x－ay＝0与直线x+ay＝0也互相垂直，故a＝1是两直线互相垂直的充分而非必要条件.

答案：B

10.“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，+∞)上为增函数”的　　　　　　　 (　)

A.充分不必要条件　 　　　　　　B.必要不充分条件

C.充要条件　 　　　　　　　　　D.既不充分也不必要条件

解析：当a＝1时，函数f(x)＝|x－1|在区间[1，+∞)上为增函数，而当函数f(x)＝|x－a|在区间[1，+∞)上为增函数时，只要a≤1即可.

答案：A