4.设函数f(x)＝x^m+ax的导函数f′(x)＝2x+1，则数列{}(n∈N^*)的前n项和是　 (　)

A. 　　　　　B.　　　　　　 C. 　　　　　　D.

解析：f′(x)＝mx^m－1+a＝2x+1，∴a＝1，m＝2，

∴f(x)＝x(x+1)，

＝＝－，用裂项法求和得S_n＝.

答案：A

3．已知数列{a_n}中，a₁＝2，点(a_n－1，a_n)(n>1，且n∈N^*)满足y＝2x－1，则a₁+a₂+…+a₁₀＝________.

解析：∵a_n＝2a_n－1－1，∴a_n－1＝2(a_n－1－1)

∴{a_n－1}为等比数列，则a_n＝2^n－1+1，

∴a₁+a₂+…+a₁₀＝10+(2⁰+2¹+…+2⁹)

＝10+＝1 033.

答案：1 033

2．已知数列{a_n}的通项公式是a_n＝，其前n项和S_n＝，则项数n等于　 (　)

A．13 　　　　B．10 　　　　C．9 　　　　D．6

解析：∵a_n＝1－，

∴S_n＝(1－)+(1－)+(1－)+…+(1－)

＝n－(+++…+)

＝n－＝n－1+，

由S_n＝＝n－1+，

观察可得出n＝6.

答案：D

1.数列a₁+2，…，a_k+2k，…，a₁₀+20共有十项，且其和为240，则a₁+…+a_k+…+a₁₀之值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．31　　　 　B．120 　　　　　C．130　 　　　D．185

解析：a₁+…+a_k+…+a₁₀＝240－(2+…+2k+…+20)＝240－＝240－110＝130.

答案：C

3．(2009·宁夏、海南高考)等比数列{a_n}的公比q＞0.已知a₂＝1，a_n+2+a_n+1＝6a_n，则{a_n}的前4项和S₄＝________.

解析：∵a_n+2+a_n+1＝6a_n，∴a_n·q²+a_n·q＝6a_n(a_n≠0)，

∴q²+q－6＝0，

∴q＝－3或q＝2.

∵q＞0，∴q＝2，∴a₁＝，a₃＝2，a₄＝4，

∴S₄＝+1+2+4＝.

2．(2009·浙江高考)设等比数列{a_n}的公比q＝，前n项和为S_n，则＝________.

解析：a₄＝a₁()³＝a₁，S₄＝＝a₁，

∴＝15.

答案：15

1.各项都是正数的等比数列中，a₂，a₃，a₁成等差数列，则的值为　　　 (　)

A. 　　　　B.　　　　　 C.　 　　　　　D.或

解析：设{a_n}的公比为q，∵a₁+a₂＝a₃，

∴a₁+a₁q＝a₁q²，即q²－q－1＝0，

∴q＝，又∵a_n＞0，∴q＞0，∴q＝，

＝＝.

答案：A

12．(2010·株州模拟)已知二次函数f(x)＝ax²+bx+c(x∈R)，满足f(0)＝f()＝0，且f(x)的最小值是－.设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，点(n，S_n)在函数f(x)的图象上．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)通过b_n＝构造一个新的数列{b_n}，是否存在非零常数c，使得{b_n}为等差数列；

(3)令c_n＝，设数列{c_n·2c_n}的前n项和为T_n，求T_n.

解：(1)因为f(0)＝f()＝0，所以f(x)的对称轴为x＝＝，又因为f(x)的最小值是－，由二次函数图象的对称性可设f(x)＝a(x－)²－.

又f(0)＝0，所以a＝2，所以f(x)＝2(x－)²－＝2x²－x.

因为点(n，S_n)在函数f(x)的图象上，所以S_n＝2n²－n.当n＝1时，a₁＝S₁＝1；当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝4n－3(n＝1时也成立)，所以a_n＝4n－3(n∈N^*)．

(2)因为b_n＝＝＝，令c＝－(c≠0)，即得b_n＝2n，此时数列{b_n}为等差数列，所以存在非零常数c＝－，使得{b_n}为等差数列．

(3)c_n＝＝＝2n，则c_n·2c_n＝2n×2²ⁿ＝n×2²ⁿ⁺¹.

所以T_n＝1×2³+2×2⁵+…+(n－1)2^2n－1+n×2²ⁿ⁺¹，

4T_n＝1×2⁵+2×2⁷+…+(n－1)2²ⁿ⁺¹+n×2²ⁿ⁺³，

两式相减得：－3T_n＝2³+2⁵+…+2²ⁿ⁺¹－n×2²ⁿ⁺³＝－n·2²ⁿ⁺³，

T_n＝+＝.

11．(文)在等差数列{a_n}中，若a₁<0，S₉＝S₁₂，则当n等于________时，S_n取得最小值．

解析：设数列{a_n}的公差为d，则由题意得

9a₁+×9×(9－1)d＝12a₁+×12×(12－1)d，

即3a₁＝－30d，∴a₁＝－10d.

∵a₁<0，∴d>0.

∴S_n＝na₁+n(n－1)d＝dn²－dn

＝²－.

∴S_n有最小值，又n∈N^*，

∴n＝10，或n＝11时，S_n取最小值．

答案：10或11

(理)若数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}满足b_n＝a_n·a_n+1·a_n+2(n∈N^*)，{b_n}的前n项和用S_n表示，若{a_n}满足3a₅＝8a₁₂＞0，则当n等于________时，S_n取得最大值．

解析：(先判断数列{a_n}中正的项与负的项)

∵3a₅＝8a₁₂＞0，∴3a₅＝8(a₅+7d)＞0，

解得a₅＝－d＞0，∴d＜0，∴a₁＝－d，

故{a_n}是首项为正数的递减数列．

由⇒⇒15≤n≤16，

∴n＝16.

答案：16

10.设数列{a_n}是等差数列，且a₄＝－4，a₉＝4，S_n是数列{a_n}的前n项和，则　　 (　)

A．S₅＜S₆ 　　　　B．S₅＝S₆ 　　　　C．S₇＝S₅ 　　　D．S₇＝S₆

解析：因为a₄＝－4，a₉＝4，所以a₄+a₉＝0，即a₆+a₇＝0，所以S₇＝S₅+a₆+a₇＝S₅.

答案：C