1.(2010·黄冈模拟)记等比数列{an}的公比为q,则“q>1”是“an+1>an(n∈N*)”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
解析:可以借助反例说明:①如数列:-1,-2,-4,-8,…公比为2,但不是增数列;
②如数列:-1,-,-,-,…是增数列,但是公比为<1.
答案:D
11.(文)在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N).
(1)试判断数列{}是否为等差数列;
(2)设{bn}满足bn=,求数列{bn}的前n项为Sn;
(3)若λan+≥λ,对任意n≥2的整数恒成立,求实数λ的取值范围.
解:(1)∵a1≠0,∴an≠0,∴由已知可得-=3(n≥2),
故数列{}是等差数列.
(2)由(1)的结论可得bn=1+(n-1)×3,所以bn=3n-2,
∴Sn==.
(3)将an==代入λan+≥λ并整理得λ(1-)≤3n+1,
∴λ≤,原命题等价于该式对任意n≥2的整数恒成立.
设Cn=,则Cn+1-Cn=>0,故Cn+1>Cn,
∴Cn的最小值为C2=,
∴λ的取值范围是(-∞,].
(理)已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,)在直线y=x+上.数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*),b3=11,且其前9项和为153.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=,数列{cn}的前n项和为Tn,求使不等式Tn>对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值.
解:(1)由已知得=n+,
∴Sn=n2+n.
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1
=n2+n-(n-1)2-(n-1)=n+5;
当n=1时,a1=S1=6也符合上式.
∴an=n+5.
由bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*)知{bn}是等差数列,
由{bn}的前9项和为153,可得=9b5=153,
得b5=17,又b3=11,
∴{bn}的公差d==3,b3=b1+2d,
∴b1=5,
∴bn=3n+2.
(2)cn==(-),
∴Tn=(1-+-+…+-)
=(1-).
∵n增大,Tn增大,
∴{Tn}是递增数列.
∴Tn≥T1=.
Tn>对一切n∈N*都成立,只要T1=>,
∴k<19,则kmax=18.
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*都有Sn=an-,若1<Sk<9(k∈N*),则k的值为________.
解析:∵Sn=an-,∴S1=a1-=a1,a1=-1.an=Sn-Sn-1(n>1),即an=(an-)-(an-1-)=an-an-1,整理得:=-2,∴{an}是首项为-1,公比为-2的等比数列,Sk==,∵1<Sk<9,∴1<<9,即4<(-2)k<28,仅当k=4时不等式成立.
答案:4
9.在如图所示的表格中,如果每格填上一个数后,
2 |
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4 |
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1 |
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2 |
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y |
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z |
每一行成等差数列,每一列成等比数列,那么
x+y+z的值为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:由题知表格中第三列成首项为4,公比为的等比数列,故有x=1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5,,故其公比为,所以y=5×()3=,同理z=6×()4=,故x+y+z=2.
答案:B
8.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第1名得全部资金的一半多一万元,第二名得剩下的一半多一万元,以名次类推都得到剩下的一半多一万元,到第10名恰好资金分完,则此科研单位共拿出__________万元资金进行奖励.
解析:设第10名到第1名得的奖金数分别是a1,a2,…,a10,则an=Sn+1,则a1=2,an-an-1=an,即an=2an-1,因此每人得的奖金额组成以2为首项,以2为公比的等比数列,所以S10==2046.
答案:2046
题组四 |
数列与函数、不等式等问题的综合应用 |
7.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要( )
A.6秒钟 B.7秒钟 C.8秒钟 D.9秒钟
解析:设至少需要n秒钟,则1+21+22+…+2n-1≥100,
∴≥100,∴n≥7.
答案:B
6.数列{an}中,a1=6,且an-an-1=+n+1(n∈N*,n≥2),则这个数列的通项an=________.
解析:由已知等式得nan=(n+1)an-1+n(n+1)(n∈N*,n≥2),则-=1,所以数列{}是以=3为首项,1为公差的等差数列,即=n+2,则an=(n+1)(n+2).n=1时,此式也成立.
答案:(n+1)(n+2)
题组三 |
以等比数列为模型的实际问题 |
5.(2010·邯郸模拟)若数列{an}满足-=d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为调和数列.已知数列{}为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=________.
解析:由题意,若{an}为调和数列,则{}为等差数列,所以{}为调和数列,则可得数列{xn}为等差数列,由等差数列的性质可知,x5+x16=x1+x20=x2+x19=…==20.
答案:20
4.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为元(n∈N+),使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止,一共使用了 ( )
A.600天 B.800天 C.1 000天 D.1 200天
解析:由第n天的维修保养费为元(n∈N+),可以得出观测仪的整个耗资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时相应n的值.
设一共使用了n天,则使用n天的平均耗资为
=++4.95,当且仅当=时,取得最小值,此时n=800.
答案:B
3.(文)已知等差数列{an}的前n项和为Sn且满足a2=3,S6=36.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}是等比数列且满足b1+b2=3,b4+b5=24.设数列{an·bn}的前n项和为Tn,求Tn.
解:(1)∵数列{an}是等差数列,
∴S6=3(a1+a6)=3(a2+a5)=36.
∵a2=3,∴a5=9,∴3d=a5-a2=6,∴d=2,
又∵a1=a2-d=1,∴an=2n-1.
(2)由等比数列{bn}满足b1+b2=3,b4+b5=24,
得=q3=8,∴q=2,
∵b1+b2=3,∴b1+b1q=3,∴b1=1,bn=2n-1,
∴an·bn=(2n-1)·2n-1.
∴Tn=1×1+3×2+5×22+…+(2n-3)·2n-2+(2n-1)·2n-1,
则2Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n,
两式相减得(1-2)Tn=1×1+2×2+2×22+…+2·2n-2+2·2n-1-(2n-1)·2n,即
-Tn=1+2(21+22+…+2n-1)-(2n-1)·2n
=1+2(2n-2)-(2n-1)·2n=(3-2n)·2n-3,
∴Tn=(2n-3)·2n+3.
(理)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,数列{an+Sn}是公差为2的等差数列.
(1)求a2,a3;
(2)证明:数列{an-2}为等比数列;
(3)求数列{nan}的前n项和Tn.
解:(1)∵数列{an+Sn}是公差为2的等差数列,
∴(an+1+Sn+1)-(an+Sn)=2,即an+1=.
∵a1=1,∴a2=,a3=.
(2)证明:由题意得a1-2=-1,
又∵==,
∴{an-2}是首项为-1,公比为的等比数列.
(3)由(2)得an-2=-()n-1,∴nan=2n-n·()n-1,
∴Tn=(2-1)+(4-2·)+[6-3·()2]+…+[2n-n·()n-1],
=(2+4+6+…+2n)-[1+2·+3·()2+…+n·()n-1],
设An=1+2·+3·()2+…+n·()n-1, ①
∴An=+2·()2+3·()3+…+n·()n, ②
①-②得An=1++()2+…+()n-1-n·()n,
∴An=-n·()n,
∴An=4-(n+2)·()n-1,
∴Tn=+(n+2)·()n-1-4=(n+2)·()n-1+n(n+1)-4.
题组二 |
以等差数列为模型的实际问题 |
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