0  384513  384521  384527  384531  384537  384539  384543  384549  384551  384557  384563  384567  384569  384573  384579  384581  384587  384591  384593  384597  384599  384603  384605  384607  384608  384609  384611  384612  384613  384615  384617  384621  384623  384627  384629  384633  384639  384641  384647  384651  384653  384657  384663  384669  384671  384677  384681  384683  384689  384693  384699  384707  447090 

1.(2010·黄冈模拟)记等比数列{an}的公比为q,则“q>1”是“an+1>an(n∈N*)”的 ( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

解析:可以借助反例说明:①如数列:-1,-2,-4,-8,…公比为2,但不是增数列;

②如数列:-1,-,-,-,…是增数列,但是公比为<1.

答案:D

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11.(文)在数列{an}中,a1=1,3anan1+anan1=0(n≥2,n∈N).

(1)试判断数列{}是否为等差数列;

(2)设{bn}满足bn=,求数列{bn}的前n项为Sn

(3)若λan+≥λ,对任意n≥2的整数恒成立,求实数λ的取值范围.

解:(1)∵a1≠0,∴an≠0,∴由已知可得-=3(n≥2),

故数列{}是等差数列.

(2)由(1)的结论可得bn=1+(n-1)×3,所以bn=3n-2,

Sn==.

(3)将an==代入λan+≥λ并整理得λ(1-)≤3n+1,

λ≤,原命题等价于该式对任意n≥2的整数恒成立.

Cn=,则Cn+1Cn=>0,故Cn+1>Cn

Cn的最小值为C2=,

λ的取值范围是(-∞,].

(理)已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,)在直线yx+上.数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*),b3=11,且其前9项和为153.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

(2)设cn=,数列{cn}的前n项和为Tn,求使不等式Tn>对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值.

解:(1)由已知得=n+,

Snn2+n.

n≥2时,

anSnSn1

n2+n-(n-1)2-(n-1)=n+5;

n=1时,a1S1=6也符合上式.

ann+5.

bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*)知{bn}是等差数列,

由{bn}的前9项和为153,可得=9b5=153,

b5=17,又b3=11,

∴{bn}的公差d==3,b3b1+2d

b1=5,

bn=3n+2.

(2)cn==(-),

Tn=(1-+-+…+-)

=(1-).

n增大,Tn增大,

∴{Tn}是递增数列.

TnT1=.

Tn>对一切n∈N*都成立,只要T1=>,

k<19,则kmax=18.

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10.已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*都有Snan-,若1<Sk<9(k∈N*),则k的值为________.

解析:∵Snan-,∴S1a1-=a1a1=-1.anSnSn1(n>1),即an=(an-)-(an1-)=anan1,整理得:=-2,∴{an}是首项为-1,公比为-2的等比数列,Sk==,∵1<Sk<9,∴1<<9,即4<(-2)k<28,仅当k=4时不等式成立.

答案:4

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9.在如图所示的表格中,如果每格填上一个数后,

2
 
4
 
 
1
 
2
 
 
 
 
 
y
 
 
 
 
 
z

每一行成等差数列,每一列成等比数列,那么

x+y+z的值为            ( )

A.1         B.2

C.3          D.4

解析:由题知表格中第三列成首项为4,公比为的等比数列,故有x=1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5,,故其公比为,所以y=5×()3=,同理z=6×()4=,故x+y+z=2.

答案:B

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8.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第1名得全部资金的一半多一万元,第二名得剩下的一半多一万元,以名次类推都得到剩下的一半多一万元,到第10名恰好资金分完,则此科研单位共拿出__________万元资金进行奖励.

解析:设第10名到第1名得的奖金数分别是a1a2,…,a10,则anSn+1,则a1=2,anan1an,即an=2an1,因此每人得的奖金额组成以2为首项,以2为公比的等比数列,所以S10==2046.

答案:2046

题组四
数列与函数、不等式等问题的综合应用

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7.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要( )

A.6秒钟     B.7秒钟     C.8秒钟    D.9秒钟

解析:设至少需要n秒钟,则1+21+22+…+2n1≥100,

∴≥100,∴n≥7.

答案:B

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6.数列{an}中,a1=6,且anan1=+n+1(n∈N*n≥2),则这个数列的通项an=________.

解析:由已知等式得nan=(n+1)an1+n(n+1)(n∈N*n≥2),则-=1,所以数列{}是以=3为首项,1为公差的等差数列,即=n+2,则an=(n+1)(n+2).n=1时,此式也成立.

答案:(n+1)(n+2)

题组三
以等比数列为模型的实际问题

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5.(2010·邯郸模拟)若数列{an}满足-=d(n∈N*d为常数),则称数列{an}为调和数列.已知数列{}为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=________.

解析:由题意,若{an}为调和数列,则{}为等差数列,所以{}为调和数列,则可得数列{xn}为等差数列,由等差数列的性质可知,x5+x16x1+x20x2+x19=…==20.

答案:20

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4.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为元(n∈N+),使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止,一共使用了         ( )

A.600天      B.800天     C.1 000天      D.1 200天

解析:由第n天的维修保养费为元(n∈N+),可以得出观测仪的整个耗资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时相应n的值.

设一共使用了n天,则使用n天的平均耗资为

=++4.95,当且仅当=时,取得最小值,此时n=800.

答案:B

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3.(文)已知等差数列{an}的前n项和为Sn且满足a2=3,S6=36.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}是等比数列且满足b1+b2=3,b4+b5=24.设数列{an·bn}的前n项和为Tn,求Tn.

解:(1)∵数列{an}是等差数列,

S6=3(a1+a6)=3(a2+a5)=36.

a2=3,∴a5=9,∴3da5a2=6,∴d=2,

又∵a1a2d=1,∴an=2n-1.

(2)由等比数列{bn}满足b1+b2=3,b4+b5=24,

得=q3=8,∴q=2,

b1+b2=3,∴b1+b1q=3,∴b1=1,bn=2n1

an·bn=(2n-1)·2n1.

Tn=1×1+3×2+5×22+…+(2n-3)·2n2+(2n-1)·2n1

则2Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)·2n1+(2n-1)·2n

两式相减得(1-2)Tn=1×1+2×2+2×22+…+2·2n2+2·2n1-(2n-1)·2n,即

Tn=1+2(21+22+…+2n1)-(2n-1)·2n

=1+2(2n-2)-(2n-1)·2n=(3-2n)·2n-3,

Tn=(2n-3)·2n+3.

(理)已知数列{an}的前n项和为Sna1=1,数列{an+Sn}是公差为2的等差数列.

(1)求a2a3

(2)证明:数列{an-2}为等比数列;

(3)求数列{nan}的前n项和Tn.

解:(1)∵数列{an+Sn}是公差为2的等差数列,

∴(an+1+Sn+1)-(an+Sn)=2,即an+1=.

a1=1,∴a2=,a3=.

(2)证明:由题意得a1-2=-1,

又∵==,

∴{an-2}是首项为-1,公比为的等比数列.

(3)由(2)得an-2=-()n1,∴nan=2nn·()n1

Tn=(2-1)+(4-2·)+[6-3·()2]+…+[2nn·()n1],

=(2+4+6+…+2n)-[1+2·+3·()2+…+n·()n1],

An=1+2·+3·()2+…+n·()n1,                     ①

An=+2·()2+3·()3+…+n·()n,                    ②

①-②得An=1++()2+…+()n1n·()n

An=-n·()n

An=4-(n+2)·()n1

Tn=+(n+2)·()n1-4=(n+2)·()n1+n(n+1)-4.

题组二
以等差数列为模型的实际问题

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