12．(16分)设数列{a_n}的前n项和为S_n，

已知a₁＝1,2S_n＝(n+1)a_n(n∈N^*)．

(1)求a₂，a₃，a₄的值；

(2)写出从a_n－1到a_n的递推公式；

(3)求数列{a_n}的通项公式．

[解析]　(1)由2(1+a₂)＝3a₂，得a₂＝2.

由2(1+2+a₃)＝4a₃，得a₃＝3.

由2(1+2+3+a₄)＝5a₄，得a₄＝4.

(2)∵2S_n＝(n+1)a_n(n∈N^*)，

∴2S_n－1＝na_n－1(n>1)，

两式相减，得2a_n＝(n+1)a_n－na_n－1，

∴递推公式为a_n＝a_n－1(n>1)．

(3)由(2)得a_n＝a_n－1

＝·a_n－2

＝··a_n－3

……

＝···…··a₁＝na₁.

又∵a₁＝1，

∴数列{a_n}的通项公式为a_n＝n(n∈N^*)．

11．(15分)已知数列{a_n}的前n项和S_n，求数列{a_n}的通项公式．

(1)S_n＝(－1)ⁿ⁺¹n；

(2)S_n＝2n²+n+3.

[解析]　(1)由S_n＝(－1)ⁿ⁺¹n.

当n＝1时，

a₁＝S₁＝1；

当n≥2时，

a_n＝S_n－S_n－1

＝(－1)ⁿ⁺¹n－(－1)ⁿ(n－1)

＝(－1)ⁿ(－2n+1)

＝(－1)ⁿ⁺¹(2n－1)．

又∵n＝1时，a₁＝(－1)¹⁺¹(2×1－1)＝1，

即a₁也满足a_n＝(－1)ⁿ⁺¹(2n－1)，

∴a_n＝(－1)ⁿ⁺¹(2n－1)．

(2)由S_n＝2n²+n+3，

当n＝1时，a₁＝S₁＝6；

当n≥2时，

a_n＝S_n －S_n－1

＝(2n²+n+3)－[2(n－1)²+(n－1)+3]

＝4n－1.

∴a_n＝

10．(15分)已知数列{a_n}分别满足下列条件，写出它的前五项，并归纳出各数列的一个通项公式．

(1)a₁＝0，a_n+1＝a_n+(2n－1)；

(2)a₁＝1，a_n+1＝.

[解析]　(1)因为a₁＝0，a_n+1＝a_n+(2n－1)，

所以a₂＝a₁+(2×1－1)＝1，

a₃＝a₂+(2×2－1)＝4，

a₄＝a₃+(2×3－1)＝9，

a₅＝a₄+(2×4－1)＝16.

所以它的前五项为0,1,4,9,16，此数列又可写成(1－1)²，(2－1)²，(3－1)²，(4－1)²，(5－1)²，….

该数列的一个通项公式为a_n＝(n－1)².

(2)因为a₁＝1，a_n+1＝，

所以a₂＝，a₃＝，a₄＝，a₅＝.

它的前五项依次为1，，，，，因此该数列可写成，，，，….

故它的一个通项公式为a_n＝.

9．数列，，，，…中，有序数对(a，b)可以是____．

[解析]　从上面的规律可以看出，

解上式得.

[答案]　

8．(2008年四川卷)设数列{a_n}中，a₁＝2，a_n+1＝a_n+n+1，则通项a_n＝________.

[解析]　由a_n+1＝a_n+n+1，∴a_n+1－a_n＝n+1，

∴a₂－a₁＝2，

a₃－a₂＝3，a₄－a₃＝4，…，a_n－a_n－1＝n，

∴累加得a_n－a₁＝2+3+…+n，

a_n＝a₁+－1，∴a_n＝+1.

[答案]　+1

7．若数列3,5,9,17,33…，则通项公式a_n＝________.

[解析]　∵a₁＝3＝2¹+1，a₂＝5＝2²+1，

a₃＝9＝2³+1，…，

∴a_n＝2ⁿ+1.

[答案]　2ⁿ+1

6．已知数列{a_n}的通项公式是a_n＝n²+kn+2，若对于n∈N^*，都有a_n+1＞a_n成立，则实数k的取值范围是

(　)

A．k＞0　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B．k＞－1

C．k＞－2　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．k＞－3

[解析]　a_n+1＞a_n，即(n+1)²+k(n+1)+2＞n²+kn+2，

则k＞－(2n+1)对于n∈N^*都成立，而－(2n+1)当n＝1时取得最大值－3，所以k＞－3.

[答案]　D

5．若数列{a_n}满足a₁＝1，a₂＝2，a_n＝(n≥3且n∈N^?)，则a₄₇＝

(　)

A．1　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．2

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．2^－987

[解析]　由已知递推公式可得a₁＝1，a₂＝2，a₃＝2，a₄＝1，a₅＝，a₆＝，a₇＝1，a₈＝2，…，故{a_n}是以6为周期的数列，故a₄₇＝a_6×7+5＝a₅＝.

[答案]　C

4．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{a_n}，数列{b_n}满足b₁＝2，当n≥2时，b_n＝ab_n－1，则b₅等于

(　)

A．63　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．33

C．17　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．15

[解析]　由题知：a_n＝2n－1，且b₁＝2，故b₂＝ab₁＝a₂

＝2×2－1＝3；b₃＝ab₂＝a₃＝2×3－1＝5；b₄＝ab₃＝a₅＝2×5－1＝9；b₅＝ab₄＝a₉＝2×9－1＝17, 故选C.

[答案]　C

3．已知数列{a_n}的前n项和S_n＝n²－9n，第k项满足5<a_k<8，则k等于

(　)

A．9　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．8

C．7　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．6

[解析]　∵S_n＝n²－9n

∴n≥2时a_n＝S_n－S_n－1＝2n－10

a₁＝S₁＝－8适合上式∴a_n＝2n－10(n∈N^*)

∴5<2k－10<8，得7.5<k<9，∴k＝8.

[答案]　B