6．若{a_n}是等差数列，首项a₁＞0，a₂₀₀₉+a₂₀₁₀＞0，a₂₀₀₉·a₂₀₁₀＜0，则使前n项和S_n＞0成立的最大自然数n是

(　)

A．4017　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B．4018

C．4019　 　　　　　　　　　　　　　　　　 D．4020

[解析]　∵a₁＞0，a₂₀₀₉+a₂₀₁₀＞0，a₂₀₀₉·a₂₀₁₀＜0，且{a_n}为等差数列，

∴{a_n}表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且a₂₀₀₉是绝对值最小的正数，a₂₀₁₀是绝对值最小的负数(第一个负数)，且|a₂₀₀₉|＞|a₂₀₁₀|.

∵在等差数列{a_n}中，a₂₀₀₉+a₂₀₁₀＝a₁+a₄₀₁₈＞0，

S₄₀₁₈＝＞0，

∴使S_n＞0成立的最大自然数n是4018.

[答案]　B

5．数列{a_n}的通项a_n＝，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n+1)x+y+n＝0在y轴上的截距为

(　)

A．－10　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B．－9

C．10　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．9

[解析]　数列的前n项和为++…+

＝1－＝＝，∴n＝9，

∴直线方程为10x+y+9＝0.

令x＝0，得y＝－9，∴在y轴上的截距为－9.

[答案]　B

4．已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，若{log₂a_n}是公差为－1的等差数列，且S₆＝，那么a₁的值是

(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

[解析]　由题知：log₂a_n－log₂a_n－1＝－1，

∴log₂＝－1，即＝，

∴{a_n}是以a₁为首项，为公比的等比数列，

∴S₆＝＝，∴a₁＝.

[答案]　A

3．设a_n＝－n²+17n+18，则数列{a_n}从首项到第几项的和最大

(　)

A．17　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．18

C．17或18　 　　　　　　　　　　　　　　 D．19

[解析]　令a_n≥0，得1≤n≤18.

∵a₁₈＝0，a₁₇＞0，a₁₉＜0，

∴到第18项或17项和最大．

[答案]　C

2．设函数f(x)＝x^m+ax的导函数f′(x)＝2x+1，则数列(n∈N^?)的前n项和是

(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

[解析]　f′(x)＝mx^m－1+a＝2x+1，

∴a＝1，m＝2，

∴f(x)＝x(x+1)，＝＝－，用裂项相消法求和得

S_n＝，故选A.

[答案]　A

1．数列9,99,999,9 999…的前n项和等于

(　)

A．10ⁿ－1　　　　　　　　 B.(10ⁿ－1)－n

C.(10ⁿ－1)　 　　　　　　　　　　　　　 D.(10ⁿ－1)+n

[解析]　a_n＝10ⁿ－1，

∴S_n＝a₁+a₂+…+a_n＝(10－1)+(10²－1)+…+(10ⁿ－1)

＝(10+10²+…+10ⁿ)－n＝－n.

[答案]　B

12．(16分)(2008年四川卷)设数列{a_n}的前n项和S_n＝2a_n－2ⁿ.

(1)求a₃，a₄；

(2)证明：{a_n+1－2a_n}是等比数列；

(3)求{a_n}的通项公式．

[解析]　(1)因为a₁＝S_1,2a₁＝S₁+2，

所以a₁＝2，S₁＝2.由2a_n＝S_n+2ⁿ知

2a_n+1＝S_n+1+2ⁿ⁺¹＝a_n+1+S_n+2ⁿ⁺¹，

得a_n+1＝S_n+2ⁿ⁺¹，①

所以a₂＝S₁+2²＝2+2²＝6，S₂＝8，

a₃＝S₂+2³＝8+2³＝16，S₃＝24.

a₄＝S₃+2⁴＝40.

(2)证明：由题设和①式知

a_n+1－2a_n＝(S_n+2ⁿ⁺¹)－(S_n+2ⁿ)＝2ⁿ⁺¹－2ⁿ＝2ⁿ.

所以{a_n+1－2a_n}是首项为2，公比为2的等比数列．

(3)a_n＝(a_n－2a_n－1)+2(a_n－1－2a_n－2)+…+2^n－2(a₂－2a₁)+2^n－1a₁＝(n+1)·2^n－1.

11．(15分)已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n＝(a_n－1)(a为常数，且a≠0，a≠1)．

(1)求{a_n}的通项公式；

(2)设b_n＝+1，若数列{b_n}为等比数列，求a的值．

[解析]　(1)∵S₁＝(a₁－1)，∴a₁＝a，

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝a_n－a_n－1，

＝a，即{a_n}是等比数列．∴a_n＝a·a^n－1＝aⁿ.

(2)由(1)知，b_n＝+1＝，若{b_n}为等比数列，

则有b＝b₁b₃，而b₁＝3，b₂＝，b₃＝，故²＝3·，解得a＝，

再将a＝代入得b_n＝3ⁿ成立 ，

所以a＝.

10．(15分)已知{a_n}为等比数列，a₃＝2，a₂+a₄＝，求{a_n}的通项公式．

[解析]　解法1：设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q(q≠0)，

由题意得

解得q₁＝，q₂＝3.

当q＝时，a₁＝18，

∴a_n＝18×^n－1＝＝2×3^3－n.

当q＝3时，a₁＝，

∴a_n＝×3^n－1＝2×3^n－3.

解法2：由a₃＝2，得a₂a₄＝4，又a₂+a₄＝，

则a₂，a₄为方程x²－x+4＝0的两根，

解得或.

①当a₂＝时，q＝3，a_n＝a₃·q^n－3＝2×3^n－3；

②当a₂＝6时，q＝，a_n＝2×3^3－n，

∴a_n＝2×3^n－3或a_n＝2×3^3－n.

9．已知数列{a_n}是等比数列，a₂＝2，a₅＝16，则a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1＝________.

[解析]　根据a₂＝2和a₅＝16，

可求得等比数列{a_n}的首项a₁＝1，公比q＝2，

而所求的和式可看成是数列b_n＝a_na_n+1的前n项和，而b_n＝a_na_n+1＝aq^2n－1＝(aq)(q²)^n－1，

所以{b_n}是首项为b₁＝aq＝2，公比为q²＝4的等比数列，

故其前n项和为S＝＝(4ⁿ－1)．

[答案]　(4ⁿ－1)