4．2008年春，我国南方部分地区遭受了罕见的特大冻灾．大雪无情人有情，柳州某中学组织学生在学校开展募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的2倍，且当天人均捐款数比前一天多5元，则截止第5天(包括第5天)捐款总数将达到

(　)

A．4 800元　 　　　　　　　　　　 B．8 000元

C．9 600元　 　　　　　　　　　　 D．11 200元

[解析]　由题意知，5天共捐款

10×10+(10×2)×(10+5)+(10×4)×(15+5)+(10×8)×(20+5)+(10×16)×(25+5)＝8 000(元)．

[答案]　B

3．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书，公元年代之和为13958，则出齐这套书的年份是

(　)

A．1994　 　　　　　　　　　　　　　 B．1996

C．1998　 　　　　　　　　　　　　　 D．2000

[解析]　设出齐这套书的年份是x，

则(x－12)+(x－10)+(x－8)+…+x＝13 958，

∴7x－＝13 958，x＝2 000.

[答案]　D

2．数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，{b_n}是等差数列，且a₆＝b₇，则

(　)

A．a₃+a₉≤b₄+b₁₀

B．a₃+a₉≥b₄+b₁₀

C．a₃+a₉≠b₄+b₁₀

D．a₃+a₉与b₄+b₁₀的大小不确定

[解析]　由数列的性质易得

a₃+a₉≥2＝2a₆＝2b₇＝b₄+b₁₀.

[答案]　B

1．一个三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角所成等差数列的公差等于

(　)

A．0　 　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

[解析]　因A、B、C成等差数列，a，b，c成等比数列，

则B＝，b²＝ac，

∴cos B＝＝，可推出a＝c＝b.

[答案]　A

12．(16分)过点P(1,0)作曲线C：y＝x²(x∈(0，+∞))的切线，切点为M₁，设M₁在x轴上的投影是点P₁.又过点P₁作曲线C的切线，切点为M₂，设M₂在x轴上的投影是点P₂，….依此下去，得到一系列点M₁，M₂…，M_n，…，设它们的横坐标a₁，a₂，…，a_n，…，构成数列为{a_n}．

(1)求证：数列{a_n}是等比数列，并求其通项公式；

(2)令b_n＝，求数列{b_n}的前n项和S_n.

[解析]　(1)证明：对y＝x²求导数，得y′＝2x，切点是M_n(a_n，a)的切线方程是y－a＝2a_n(x－a_n)．

当n＝1时，切线过点P(1,0)，即0－a＝2a₁(1－a₁)，

得a₁＝2；

当n＞1时，切线过点P_n－1(a_n－1,0)，

即0－a＝2a_n(a_n－1－a_n)，得＝2

所以数列{a_n}是首项a₁＝2，公比为2的等比数列．

所以数列{a_n}的通项公式为a_n＝2ⁿ，n∈N^?

(2)a_n＝2ⁿ，b_n＝，数列{b_n}的前n项和

S_n＝+++…，

同乘以，得S_n＝+++…+，

两式相减，得S_n＝+++…+－

＝－＝1－－，

所以S_n＝2－.

11．(15分)数列1,1+，1++，1+++，…，1+++…+，….

(1)写出它的通项a_n，并说明数列{a_n}是等差数列；

(2)设b_n＝，求数列{b_n}的前n项之和．

[解析]　(1)a_n＝1+++…+

＝1+＝.

因为a_n+1－a_n＝－＝，

所以数列{a_n}是首项为1，公差为的等差数列．

(2)因为b_n＝＝

＝2，

所以数列{b_n}的前n项和为

2

＝2.

10．(15分)已知等差数列{a_n}中，S_n是它前n项和，设a₆＝2，S₁₀＝10.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)若从数列{a_n}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2ⁿ项，…，按取出的顺序组成一个新数列{b_n}，试求数列{b_n}的前n项和T_n.

[解析]　(1)设数列{a_n}首项，公差分别为a₁，d.则由已知得a₁+5d＝2①

10a₁+d＝10②

联立①②解得a₁＝－8，d＝2，

所以a_n＝2n－10(n∈N^?)

(2)b_n＝a_2n＝2·2ⁿ－10＝2ⁿ⁺¹－10(n∈N^?)，

所以T_n＝b₁+b₂+…+b_n＝－10n＝2ⁿ⁺²－10n－4

9．(2008年四川卷)设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₄≥10，S₅≤15，则a₄的最大值为______．

[解析]　解法1：

∵⇒a₄≤4.

故a₄的最大值为4.

解法2：本题也可利用线性规划知识求解．

由题意得：⇒

a₄＝a₁+3d.

画出可行域，

求目标函数a₄＝a₁+3d的最大值，

即当直线a₄＝a₁+3d过可行域内(1,1)点时截距最大，

此时a₄＝4.

[答案]　4

8．已知S＝C+2C+…+nC，则S＝________.

[解析]　∵S＝0C+1C+2C+…+nC

S＝nC+(n－1)C+…+0C

∴2S＝n(C+C+…+C)＝n·2ⁿ∴S＝n·2^n－1

[答案]　n·2^n－1

7．已知f(n)＝若a_n＝f(n)+f(n+1)，则a₁+a₂+…+a_{2 008}＝________.

[解析]　当n为奇数时，a_n＝f(n)+f(n+1)＝n－n－1

＝－1.当n为偶数时， a_n＝－n+n+1＝1.

∴a₁+a₂+…+a_{2 008}＝0.

[答案]　0