2．用N_A表示阿伏加德罗常数的值。下列叙述正确的是　　　　　　　 　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．常温常压下的33.6 L氯气与27 g铝充分反应，转移电子数为3N_A

　　　 B．标准状况下，22.4 L己烷中共价键数目为19N_A

　　　 C．由CO₂和O₂组成的混合物中共有N_A个分子，其中的氧原子数为2N_A

　　　 D．1 L浓度为1 mol·L^-1的Na₂CO₃溶液中含有N_A个CO₃^2-

1．根据陈述的知识，类推得出的结论正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．镁条在空气中燃烧生成的氧化物是MgO，则钠在空气中燃烧生成的氧化物是Na₂O

　　　 B．乙烯可使酸性高锰酸钾溶液褪色，则丙烯也可以使其褪色

　　　 C．CO₂和SiO₂ 化学式相似，则CO₂与SiO₂的物理性质也相似

　　　 D．金刚石的硬度大，则C₆₀的硬度也大

12．(16分)某林场有荒山3 250亩，每年春季在荒山上植树造林，第一年植树100亩，计划每年比上一年多植树50亩(假设全部成活)．

(1)问需要几年可将此山全部绿化？

(2)已知新种树苗每亩的木材量是2立方米，树木每年自然增长率为10%，设荒山全部绿化后的年底的木材总量为S.求S约为多少万立方米？(精确到0.1)

[解析]　(1)每年植树的亩数构成一个以a₁＝100，

d＝50的等差数列，其和即为荒山的总亩数．

设需要n年可将此山全部绿化，则

S_n＝a₁n+(n－1)d＝100n+×50＝3 250.

解此方程，得n＝10(年)．

(2)第一年种植的树在第10年后的木材量为

2a₁(1+0.1)¹⁰，

第二年种植的树在第10年后的木材量为

2a₂(1+0.1)⁹，…，

第10年种植的树在年底的木材量为2a₁₀(1+0.1)．

则10年后的木材量依次构成数列{b_n}，则其和为

T＝b₁+b₂+…+b₁₀＝200×1.1¹⁰+300×1.1⁹+…+

1 100×1.1≈9 976(立方米)．

约为1.0万立方米．

即，需要10年可将此山全部绿化，

10年后木材总量约为1.0万立方米．

11．(15分)已知数列{a_n}中，a₁＝，点(n,2a_n+1－a_n)在直线y＝x上，其中n＝1,2,3，….

(1)令b_n＝a_n+1－a_n－1，求证：数列{b_n}是等比数列；

(2)求数列{a_n}的通项．

[解析]　(1)证明：∵a₁＝，2a_n+1＝a_n+n，

∵a₂＝，a₂－a₁－1＝－－1＝－，

又b_n＝a_n+1－a_n－1，b_n+1＝a_n+2－a_n+1－1，

∴＝

＝＝＝.

∴{b_n}是以－为首项，以为公比的等比数列．

b_n＝－×^n－1＝－×，

(2)∵a_n+1－a_n－1＝－×，

∴a₂－a₁－1＝－×，

a₃－a₂－1＝－×，…

∴a_n－a_n－1－1＝－×，

将以上各式相加得：

∴a_n－a₁－(n－1)＝－，

∴a_n＝a₁+n－1－×

＝+(n－1)－＝+n－2.

∴a_n＝+n－2.

10．(15分)在等差数列{a_n}中，a₅＝5，S₃＝6.

(1)若T_n为数列的前n项和，求T_n；

(2)若a_n+1≥λT_n对任意正整数都成立，求实数λ的最大值．

[解析]　(1)设首项为a₁，公差为d，

则

解得：a₁＝1，d＝1所以，a_n＝n

＝＝－

T_n＝1－+－+…+－＝1－＝，

(2)若使a_n+1≥λT_n，

即n+1≥λ，∴λ≤

又＝n++2≥4，

当且仅当n＝，即n＝1时取等号

∴λ的最大值为4.

9．约瑟夫规则：将1、2、3、…、n按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，隔一个删除一个数，直至剩余一个数而终止，依次删除的数为1、3、5、7…….当n＝65时，剩余的一个数为________．

[解析]　将1、2、3、…、65按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，隔一个数删除一个，首先删除的数为1、3、5、7、…、65(删除33个，剩余32个)；

其次从2开始，删除的数的个数分别为16、8、4、2、1，

最后剩余2，故填2.

[答案]　2

8．已知函数f(x)＝a·b^x的图象过点A(2，)，B(3,1)，若记a_n＝log₂ f(n)(n∈N^*)，S_n是数列{a_n}的前n项和，则S_n的最小值是________．

[解析]　将A、B两点坐标代入f(x)得

，解得，

∴f(x)＝·2^x，

∴f(n)＝·2ⁿ＝2^n－3，∴a_n＝log₂ f(n)＝n－3.

令a_n≤0，即n－3≤0，n≤3.

∴数列前3项小于或等于零，故S₃或S₂最小．

S₃＝a₁+a₂+a₃＝－2+(－1)+0＝－3.

[答案]　－3

7．已知三个数a、b、c成等比数列，则函数f(x)＝ax²+bx+c的图象与x轴公共点的个数为________．

[解析]　∵a、b、c成等比数列，∴b²＝ac，且b≠0.

又Δ＝b²－4ac＝b²－4b²＝－3b²<0，

∴f(x)的图象与x轴没有公共点．

[答案]　0

6．`某林厂年初有森林木材存量S m³，木材以每年25%的增长率生长，而每年要砍伐固定的木材量x m³，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x的值是

(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

[解析]　一次砍伐后木材的存量为S(1+25%)－x；

二次砍伐后木材存量为[S(1+25%)－x](1+25%)－x.

由题意知²S－x－x＝S(1+50%)，

解得x＝.

[答案]　C

5．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₂＝10，S₅＝55，则过点P(n，a_n)和Q(n+2，a_n+2)(n∈N^*)的直线的一个方向向量的坐标可以是

(　)

A．(2,4)　 　　　　　　　　　　　　　 B.

C．(－，－1)　 　　　　　　　　 D．(－1，－1)

[解析]　由S₂＝10，S₅＝55，得2a₁+d＝10,5a₁+10d＝55，解得a₁＝3，d＝4，可知直线PQ的一个方向向量是(1,4)，只有与(1,4)平行．故选B.

[答案]　B