12．(1)设α∈(0，)，试证明：sin α＜α＜tan α；

(2)若0＜α＜β＜，试比较β－sin β与α－sin α的大小．

[解析]　(1)如右图，在平面直角坐标系中作单位圆，设角α以x轴正半轴为始边，终边与单位圆交于P点．

∵S_△OPA＜S_扇形OPA＜S_△OAT，

∴|MP|＜α＜|AT|，

∴sin α＜α＜tan α.

(2)方法一：如右图所示，在平面直角坐标系中作单位圆，设α，β都以x轴正半轴为始边，终边与单位圆分别交于P，Q点，

则sin α＝MP，sin β＝NQ，

＝α，＝β，∴＝β－α.

过P作PR⊥NQ于R，则MP＝NR，

∴RQ＝sin β－sin α＜PQ＜＝β－α，

∴β－sin β＞α－sin α.

方法二：设f(x)＝x－sin x，x∈(0，)，则f′(x)＝1－cos x＞0，

即f(x)在(0，)上为增函数．

又0＜α＜β＜，∴f(α)＜f(β)，即β－sin β＞α－sin α.

11．已知角α的终边上一点P(－，m)，且sin α＝，求cos α，tan α的值．

[解析]　由题设知x＝－，y＝m，所以r²＝|OP|²＝(－)²+m²，得r＝，从而sin α＝＝＝，解得m＝0或m＝±.

当m＝0时，r＝，x＝－，cos α＝＝－1，tan α＝＝0；

当m＝时，r＝2，x＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝－；

当m＝－时，r＝2，x＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝.

10．一扇形周长为20 cm，问扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？

[解析]　设扇形圆心角为θ，半径为r，则2r+θr＝20，θ＝，

S_扇形＝θr²＝··r²

＝(10－r)·r＝10r－r²，

当r＝－＝5时，S_扇形的最大值为25 cm²，此时θ＝2 rad.

9．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将点A走过的路程d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．

[解析]　∠AOB＝×2π＝，d＝×5＝t.

[答案]　t

8．已知角α的终边落在直线y＝－3x(x＜0)上，则－＝________.

[解析]　∵角α的终边落在直线y＝－3x(x＜0)上，

在角α的终边上取一点P(x₀，－3x₀)(x₀＜0)，

∴－3x₀＞0，

∴P在第二象限，

∴－＝－＝1+1＝2.

[答案]　2

7．(2009年常州模拟)若点P(m，n)(n≠0)为角600°终边上一点，则等于________．

[解析]　由三角函数的定义知

＝tan 600°＝tan(360°+240°)＝tan 240°＝tan 60°＝，

∴＝＝.

[答案]　

6．设0≤θ<2π，如果sin θ<0且cos 2θ<0，则θ的取值范围是(　)

A．π<θ<　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.<θ<2π

C.<θ<　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.<θ<

[解析]　∵0≤θ<2π，且sin θ<0，∴π<θ<2π.又由cos 2θ<0，得2kπ+<2θ<2kπ+，即kπ+<θ<kπ+(k∈Z)．∵π<θ<2π，∴k＝1，即θ的取值范围是<θ<，选D.

[答案]　D

5．在△ABC中，sin Acos C＜0，则△ABC是(　)

A．锐角三角形　 　　　　　　　　　　　　　　 B．直角三角形

C．钝角三角形　 　　　　　　　　　　　　　　 D．不能确定

[解析]　由△ABC的内角的范围得三角函数值的符号，可得sin A＞0，cos C＜0，从而角C为钝角，△ABC是钝角三角形．

[答案]　C

4．如果点P在角的终边上，且OP＝2，那么点P的坐标是(　)

A．(1，)　　　　　　　　 B．(－1，)

C．(，1)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．(－1，－)

[解析]　设P(x，y)，则由三角函数的定义知x＝|OP|cos＝2·＝－1，y＝|OP|sin＝2·＝，故P(－1，)．

[答案]　B

3．已知角α是第二象限角，且|cos |＝－cos ，则角是(　)

A．第一象限角　 　　　　　　　　　　　　　　 B．第二象限角

C．第三象限角　 　　　　　　　　　　　　　　 D．第四象限角

[解析]　由α是第二象限角知，是第一或第三象限角．

又∵|cos |＝－cos ，∴cos <0，

∴是第三象限角．

[答案]　C