0  387949  387957  387963  387967  387973  387975  387979  387985  387987  387993  387999  388003  388005  388009  388015  388017  388023  388027  388029  388033  388035  388039  388041  388043  388044  388045  388047  388048  388049  388051  388053  388057  388059  388063  388065  388069  388075  388077  388083  388087  388089  388093  388099  388105  388107  388113  388117  388119  388125  388129  388135  388143  447090 

3.mn∈R,函数ym+lognx的图象如图所示,则有 ( )

A.m<0,0<n<1    B.m>0,n>1

C.m>0,0<n<1    D.m<0,n>1

解析:由函数图象可知该函数为增函数,所以n>1,又图象与x轴的交点在(0,1)之间,故该图象是由y=lognx的图象向上平移得到的,所以m>0.

答案:B

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2.函数f(x)=lnx-的零点所在的区间是                  ( )

A.(0,1)    B.(1,e)   C.(e,3)        D.(3,+∞)

解析:代入验证可知,只有B中:f(1)·f(e)=(ln1-)(lne-)<0,又∵f′(x)=+=>0,故在(1,e)上函数f(x)存在零点.

答案:B

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1.已知集合A={x|x<3},B={x|2x1>1},则AB=             ( )

A.{x|x>1} B.{x|x<3}     C.{x|1<x<3}       D.∅

解析:集合B中不等式2x1>1⇒2x1>20x>1,所以AB={x|1<x<3}.

答案:C

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12.(2010·宁波模拟)某建筑的金属支架如图所示,根据要求

AB至少长2.8 m,CAB的中点,BD的距离比CD

的长小0.5 m,∠BCD=60°,已知建造支架的材料每米

的价格一定,问怎样设计ABCD的长,可使建造这个

支架的成本最低?

解:设BCam(a≥1.4),CDbm,连接BD.

则在△CDB中,(b-)2b2+a2-2abcos60°.

b=.

b+2a=+2a.

ta-1,t≥-1=0.4,

b+2a=+2(t+1)=3t++4≥7,

等号成立时t=0.5>0.4,a=1.5,b=4.

答:当AB=3 m,CD=4 m时,建造这个支架的成本最低.

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11.如图,扇形AOB,圆心角AOB等于60°,半径为2,

在弧AB上有一动点P,过P引平行于OB的直线和OA交于点C,设∠AOPθ,求△POC面积的最大值及此时θ的值.

解:因为CPOB,所以∠CPO=∠POB=60°-θ,∴∠OCP=120°.

在△POC中,由正弦定理得

=,∴=,所以CP=sinθ.

又=,∴OC=sin(60°-θ).

因此△POC的面积为

S(θ)=CP·OCsin120°=·sinθ·sin(60°-θ

=sinθsin(60°-θ)=sinθ(cosθ-sinθ)

=[cos(2θ-60°)-],θ∈(0°,60°).

所以当θ=30°时,S(θ)取得最大值为.

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10.线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以80 km/h的速度由AB行驶,同时摩托车以50 km/h的速度由BC行驶,则运动开始________h后,两车的距离最小.解析:如图所示:设t h后,汽车由A行驶到D,摩托车由B行驶到E,则AD=80tBE=50t.

因为AB=200,所以BD=200-80t

问题就是求DE最小时t的值.

由余弦定理:DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos60°

=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)·50t

=12900t2-42000t+40000.

t=DE最小.

答案:

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9.有一山坡,坡角为30°,若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30°角的小路前进一段路后,升高了100米,则此人行走的路程为             ( )

A.300 m     B.400 m     C.200 m     D.200 m

解析:如图,AD为山坡底线,AB为行走路线,BC垂直水平面.

则BC=100,∠BDC=30°,∠BAD=30°,

∴BD=200,AB=2BD=400 米.

答案:B

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8.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为   ( )

A.锐角三角形    B.直角三角形   C.钝角三角形   D.由增加的长度决定

解析:设增加同样的长度为x,原三边长为abc,且c2a2+b2a+b>c新的三角形的三边长为a+xb+xc+x,知c+x为最大边,其对应角最大.

而(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2x2+2(a+bc)x>0,由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正,则为锐角,那么它为锐角三角形.

答案:A

题组四
正、余弦定理的综合应用

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7.在△ABC中,角ABC所对的边分别为abc,如果caB=30°,那么角C等于                                ( )

A.120°    B.105°   C.90°    D.75°

解析:∵ca,∴sinC=sinA=sin(180°-30°-C)=sin(30°+C)=(sinC+cosC),

即sinC=-cosC.∴tanC=-.又C∈(0,180°),

C=120°.

答案:A

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6.某人在山顶观察地面上相距2 500 m的AB两个目标,测得目标A在南偏西57°,俯角为30°,同时测得B在南偏东78°,俯角是45°,求山高(设AB与山底在同一平面上,计算结果精确到0.1 m).

解:画出示意图(如图所示)

设山高PQ=h,则△APQ、△BPQ均为直角三角形,

在图(1)中,∠PAQ=30°,∠PBQ=45°.

AQ=BQ==h.

在图(2)中,

AQB=57°+78°=135°,AB=2 500,

所以由余弦定理得:

AB2=AQ2+BQ2-2AQ·BQcos∠AQB

即2 5002=(h)2+h2-2h·h·cos135°=(4+)h2

h=≈984.4(m).

答:山高约984.4 m.

题组三
角 度 问 题

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