0  387951  387959  387965  387969  387975  387977  387981  387987  387989  387995  388001  388005  388007  388011  388017  388019  388025  388029  388031  388035  388037  388041  388043  388045  388046  388047  388049  388050  388051  388053  388055  388059  388061  388065  388067  388071  388077  388079  388085  388089  388091  388095  388101  388107  388109  388115  388119  388121  388127  388131  388137  388145  447090 

1.已知AB两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地,

B地 停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地,把汽车离开A地的距离x表示为时t(小时)的 函数表达式是                       ( )

A.x=60t+50t(0≤t≤6.5)

B.x

C.x

D.x

解析:依题意,函数为分段函数,求出每一段上的解析式即可.

答案:D

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22.(本小题满分14分)(2010·长郡模拟)已知函数f(x)=x4+ax3+2x2+b(x∈R),其中ab∈R.

(1)当a=-时,讨论函数f(x)的单调性;

(2)若函数f(x)仅在x=0时处有极值,求a的取值范围;

(3)若对于任意的a∈[-2,2],不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立,求b的取值范围.

解:(1)f′(x)=4x3+3ax2+4xx(4x2+3ax+4).

a=-时,f′(x)=x(4x2-10x-4)

=2x(2x-1)(x-2).

f′(x)=0,解得x1=0,x2=,x2=2.

x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x
(-∞,0)
0



2
(2,+∞)
f′(x)

0
+
0

0
+
f(x)

极小值

极大值

极小值

所以f(x)在(0,),(2,+∞)内是增函数,在(-∞,0),(,2)内是减函数.

(2)f′(x)=x(4x3+3ax+4),显然x=0不是方程4x3+3ax+4=0的根.

为使f(x)仅在x=0处有极值,必须4x2+3ax+4≥0,即有Δ=9a2-64≤0.

解此不等式,得-≤a≤.这时,f(0)=b是唯一极值.

因此满足条件的a的取值范围是[-,].

(3)由条件a∈[-2,2],可知Δ=9a2-64<0,从而4x2+3ax+4>0恒成立.

x<0时,f′(x)<0;当x>0时,f′(x)>0.

因此函数f(x)在[-1,1]上的最大值是f(1)与f(-1)两者中的较大者.

为使对任意的a∈[-2,2],不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立,当且仅当

a∈[-2,2]上恒成立.

所以b≤-4,因此满足条件的b的取值范围是(-∞,-4].

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21.(本小题满分12分)已知向量a=(x2-1,-1),b=(xy),当|x|<时,有ab;当|x|≥ 时,ab.

(1)求函数yf(x)的解析式;

(2)求函数yf(x)的单调递减区间;

(3)若对|x|≥ ,都有f(x)≤m,求实数m的最小值.

解:(1)当|x|<时,由 ab,得a·b=(x2-1)xy=0,

yx3x(|x|<);

当|x|≥时,由ab,得y=(|x|≥).

f(x)=

 (2)当|x|<时,由y′=3x2-1<0,解得-<x<,

当|x|≥时,y′==>0,

∴函数f(x)的单调递减区间为(-,).

(3)对∀x∈(-∞,-]∪[,+∞),都有f(x)≤m,即m≥,

由(2)知当|x|≥时,y′=>0,

∴函数f(x)在(-∞,-]和[,+∞)上都单调递增,

f(-)==,f()==-,

x≤-时,y=>0,∴0<f(x)≤f(-)=,

同理可得,当x≥时,有-≤f(x)<0,

综上所述,对∀x∈(-∞,-]∪[,+∞),f(x)取得最大值,

∴实数m的最小值为.

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20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a

(1)求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求函数f(x)在该区间上的最小值.

解:(1)f′(x)=-3x2+6x+9,令f′(x)<0,解得x<-1或x>3,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞);

f′(x)>0,解得-1<x<3,所以函数f(x)的单调递增区间为(-1,3).

(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+af(2)=-8+12+18+a=22+a

所以f(2)>f(-2).

因为在区间(-1,3)上,f′(x)>0,所以f(x)在(-1,2)上单调递增.

又由于f(x)在(-2,-1)上单调递减,

因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,

于是有22+a=20,解得a=-2,

f(x)=-x3+3x2+9x-2,

因此f(-1)=-7,即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.

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19.(本小题满分12分)是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴恒有一个交点,且只有一个交点.若存在,求出范围,若不存在,说明理   

由.

解:若实数a满足条件,则只需f(-1)·f(3)≤0即可.

f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0.所以a≤-或a≥1.

检验:(1)当f(-1)=0时,a=1.所以f(x)=x2+x.令f(x)=0,即x2+x=0.得x=0或x=-1.

方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1.

(2)当f(3)=0时,a=-,此时f(x)=x2x-.令f(x)=0,即x2x-=0,解之得x=-或x=3.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠-.

综上所述,a<-或a>1.

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18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].

(1)当a=-1时,求f(x)的最大值与最小值;

(2)求实数a的取值范围,使yf(x)在区间[-5,5]上是单调函数.

解:(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,

x=1时,f(x)取最小值为1,当x=-5时,f(x)取最大值为37,所以f(x)的最大值是37;最小值是1.

(2)由于函数的对称轴是x=-a,要使函数在区间[-5,5]上是单调函数,必须且只需满足|a|≥5,

故所求的a的取值范围是a≤-5或a≥5.

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17.(本小题满分12分)(2010·东北师大附中模拟)已知函数f(x)=2xg(x)=+2.

(1)求函数g(x)的值域;

(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.

解:(1)g(x)=+2=()|x|+2,

因为|x|≥0,所以0<()|x|≤1,即2<g(x)≤3,

g(x)的值域是(2,3].

(2)由f(x)-g(x)=0得2x--2=0,

x≤0时,显然不满足方程,即只有x>0满足2x--2=0,

整理得(2x)2-2·2x-1=0,(2x-1)2=2,

故2x=1±,

因为2x>0,所以2x=1+,即x=log2(1+).

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16.(文)以下四个命题,是真命题的有  (把你认为是真命题的序号都填上).

①若pf(x)=lnx-2+x在区间(1,2)上有一个零点;

q:e0.2>e0.3,则pq为假命题;

②当x>1时,f(x)=x2g(x)=h(x)=x2的大小关系是h(x)<g(x)<f(x);

③若f′(x0)=0,则f(x)在xx0处取得极值;

④若不等式2-3x-2x2>0的解集为P,函数y=+的定义域为Q,则“x P”是“xQ”的充分不必要条件.

解析:对于命题①,因为f(1)=ln1-2+1=-1<0,f(2)=ln2-2+2=ln2>0且f(x)在(1,2)上为增函数,故f(x)在(1,2)上有一个零点,即命题p为真;因为y=ex为增函数,所以e0.2<e0.3,故命题q为假,所以pq为假命题;对于命题②,在同一个坐标系内作出三个函数的图象有:

由函数图象可知当x>1时,有h(x)<g(x)<f(x);

对于命题③,令f(x)=x3,则有f′(0)=0,

x=0不是f(x)的极值点,故该命题错误;

对于命题④,由题意得P={x|-2<x<},又由     

Q={x|-2≤x≤},所以PQ,所以xPxQ的充分不必要条件.

答案:①②④

(理)定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=   

则方程f(x)=的所有解之和为  .

解析:当x<0时,函数的解析式是f(x)=

故函数f(x)在x∈R上的图象如图所示,方程f(x)=共有五个实根,最左边两根之和为-6,最右边两根之和为6,中间的一个根满足log2(1-x)=,即x=1-,故所有根的和为1-.

答案:1-

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15.(文)已知曲线Cy=lnx-4x与直线x=1交于一点P,那么曲线C在点P处的切线方程是     .

解析:由已知得y′=-4,所以当x=1时有y′=-3,即过点P的切线的斜率k=-3,又y=ln1-4=-4,故切点P(1,-4),所以点P处的切线方程为y+4=-3(x-1),即3x+y+1=0.

答案:3x+y+1=0

(理)已知函数f(x)=3x2+2x+1,若∫f(x)dx=2f(a)成立,则a  .

解析:∫(3x2+2x+1)dx=(x3+x2+x)|=4,

所以2(3a2+2a+1)=4,即3a2+2a-1=0,

解得a=-1或a=.

答案:-1或

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14.若x1x2为方程2x的两个实数解,则x1+x2  .

解析:∵2x=2,∴x=-1,

x2+x-1=0,∴x1+x2=-1.

答案:-1

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