1.已知A、B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地,
B地 停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地,把汽车离开A地的距离x表示为时t(小时)的 函数表达式是 ( )
A.x=60t+50t(0≤t≤6.5)
B.x=
C.x=
D.x=
解析:依题意,函数为分段函数,求出每一段上的解析式即可.
答案:D
22.(本小题满分14分)(2010·长郡模拟)已知函数f(x)=x4+ax3+2x2+b(x∈R),其中a,b∈R.
(1)当a=-时,讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)仅在x=0时处有极值,求a的取值范围;
(3)若对于任意的a∈[-2,2],不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立,求b的取值范围.
解:(1)f′(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4).
当a=-时,f′(x)=x(4x2-10x-4)
=2x(2x-1)(x-2).
令f′(x)=0,解得x1=0,x2=,x2=2.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x |
(-∞,0) |
0 |
|
|
|
2 |
(2,+∞) |
f′(x) |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
f(x) |
↘ |
极小值 |
↗ |
极大值 |
↘ |
极小值 |
↗ |
所以f(x)在(0,),(2,+∞)内是增函数,在(-∞,0),(,2)内是减函数.
(2)f′(x)=x(4x3+3ax+4),显然x=0不是方程4x3+3ax+4=0的根.
为使f(x)仅在x=0处有极值,必须4x2+3ax+4≥0,即有Δ=9a2-64≤0.
解此不等式,得-≤a≤.这时,f(0)=b是唯一极值.
因此满足条件的a的取值范围是[-,].
(3)由条件a∈[-2,2],可知Δ=9a2-64<0,从而4x2+3ax+4>0恒成立.
当x<0时,f′(x)<0;当x>0时,f′(x)>0.
因此函数f(x)在[-1,1]上的最大值是f(1)与f(-1)两者中的较大者.
为使对任意的a∈[-2,2],不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立,当且仅当
即在a∈[-2,2]上恒成立.
所以b≤-4,因此满足条件的b的取值范围是(-∞,-4].
21.(本小题满分12分)已知向量a=(x2-1,-1),b=(x,y),当|x|<时,有a⊥b;当|x|≥ 时,a∥b.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)求函数y=f(x)的单调递减区间;
(3)若对|x|≥ ,都有f(x)≤m,求实数m的最小值.
解:(1)当|x|<时,由 a⊥b,得a·b=(x2-1)x-y=0,
即y=x3-x(|x|<);
当|x|≥时,由a∥b,得y=(|x|≥).
∴f(x)=
(2)当|x|<时,由y′=3x2-1<0,解得-<x<,
当|x|≥时,y′==>0,
∴函数f(x)的单调递减区间为(-,).
(3)对∀x∈(-∞,-]∪[,+∞),都有f(x)≤m,即m≥,
由(2)知当|x|≥时,y′=>0,
∴函数f(x)在(-∞,-]和[,+∞)上都单调递增,
f(-)==,f()==-,
当x≤-时,y=>0,∴0<f(x)≤f(-)=,
同理可得,当x≥时,有-≤f(x)<0,
综上所述,对∀x∈(-∞,-]∪[,+∞),f(x)取得最大值,
∴实数m的最小值为.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a,
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求函数f(x)在该区间上的最小值.
解:(1)f′(x)=-3x2+6x+9,令f′(x)<0,解得x<-1或x>3,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞);
令f′(x)>0,解得-1<x<3,所以函数f(x)的单调递增区间为(-1,3).
(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,
所以f(2)>f(-2).
因为在区间(-1,3)上,f′(x)>0,所以f(x)在(-1,2)上单调递增.
又由于f(x)在(-2,-1)上单调递减,
因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,
于是有22+a=20,解得a=-2,
故f(x)=-x3+3x2+9x-2,
因此f(-1)=-7,即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.
19.(本小题满分12分)是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴恒有一个交点,且只有一个交点.若存在,求出范围,若不存在,说明理
由.
解:若实数a满足条件,则只需f(-1)·f(3)≤0即可.
f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0.所以a≤-或a≥1.
检验:(1)当f(-1)=0时,a=1.所以f(x)=x2+x.令f(x)=0,即x2+x=0.得x=0或x=-1.
方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1.
(2)当f(3)=0时,a=-,此时f(x)=x2-x-.令f(x)=0,即x2-x-=0,解之得x=-或x=3.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠-.
综上所述,a<-或a>1.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].
(1)当a=-1时,求f(x)的最大值与最小值;
(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.
解:(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
当x=1时,f(x)取最小值为1,当x=-5时,f(x)取最大值为37,所以f(x)的最大值是37;最小值是1.
(2)由于函数的对称轴是x=-a,要使函数在区间[-5,5]上是单调函数,必须且只需满足|a|≥5,
故所求的a的取值范围是a≤-5或a≥5.
17.(本小题满分12分)(2010·东北师大附中模拟)已知函数f(x)=2x,g(x)=+2.
(1)求函数g(x)的值域;
(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.
解:(1)g(x)=+2=()|x|+2,
因为|x|≥0,所以0<()|x|≤1,即2<g(x)≤3,
故g(x)的值域是(2,3].
(2)由f(x)-g(x)=0得2x--2=0,
当x≤0时,显然不满足方程,即只有x>0满足2x--2=0,
整理得(2x)2-2·2x-1=0,(2x-1)2=2,
故2x=1±,
因为2x>0,所以2x=1+,即x=log2(1+).
16.(文)以下四个命题,是真命题的有 (把你认为是真命题的序号都填上).
①若p:f(x)=lnx-2+x在区间(1,2)上有一个零点;
q:e0.2>e0.3,则p∧q为假命题;
②当x>1时,f(x)=x2,g(x)=,h(x)=x-2的大小关系是h(x)<g(x)<f(x);
③若f′(x0)=0,则f(x)在x=x0处取得极值;
④若不等式2-3x-2x2>0的解集为P,函数y=+的定义域为Q,则“x ∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件.
解析:对于命题①,因为f(1)=ln1-2+1=-1<0,f(2)=ln2-2+2=ln2>0且f(x)在(1,2)上为增函数,故f(x)在(1,2)上有一个零点,即命题p为真;因为y=ex为增函数,所以e0.2<e0.3,故命题q为假,所以p∧q为假命题;对于命题②,在同一个坐标系内作出三个函数的图象有:
由函数图象可知当x>1时,有h(x)<g(x)<f(x);
对于命题③,令f(x)=x3,则有f′(0)=0,
但x=0不是f(x)的极值点,故该命题错误;
对于命题④,由题意得P={x|-2<x<},又由
得Q={x|-2≤x≤},所以P⊂Q,所以x∈P是x∈Q的充分不必要条件.
答案:①②④
(理)定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=
则方程f(x)=的所有解之和为 .
解析:当x<0时,函数的解析式是f(x)=
故函数f(x)在x∈R上的图象如图所示,方程f(x)=共有五个实根,最左边两根之和为-6,最右边两根之和为6,中间的一个根满足log2(1-x)=,即x=1-,故所有根的和为1-.
答案:1-
15.(文)已知曲线C:y=lnx-4x与直线x=1交于一点P,那么曲线C在点P处的切线方程是 .
解析:由已知得y′=-4,所以当x=1时有y′=-3,即过点P的切线的斜率k=-3,又y=ln1-4=-4,故切点P(1,-4),所以点P处的切线方程为y+4=-3(x-1),即3x+y+1=0.
答案:3x+y+1=0
(理)已知函数f(x)=3x2+2x+1,若∫f(x)dx=2f(a)成立,则a= .
解析:∫(3x2+2x+1)dx=(x3+x2+x)|=4,
所以2(3a2+2a+1)=4,即3a2+2a-1=0,
解得a=-1或a=.
答案:-1或
14.若x1、x2为方程2x=的两个实数解,则x1+x2= .
解析:∵2x==2,∴x=-1,
即x2+x-1=0,∴x1+x2=-1.
答案:-1
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