9．已知函数f(x)＝x³+x－16.

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；

(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；

(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x+3垂直，求切点坐标与切线的方程．

解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．

∵f′(x)＝(x³+x－16)′＝3x²+1，

∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.

∴切线的方程为y＝13(x－2)+(－6)，

即y＝13x－32.

(2)法一：设切点为(x₀，y₀)，

则直线l的斜率为f′(x₀)＝3+1，

∴直线l的方程为y＝(3+1)(x－x₀)++x₀－16，

又∵直线l过点(0,0)，

∴0＝(3+1)(－x₀)++x₀－16，

整理得，＝－8，∴x₀＝－2，

∴y₀＝(－2)³+(－2)－16＝－26，

k＝3×(－2)²+1＝13.

∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．

法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x₀，y₀)，

则k＝＝，

又∵k＝f′(x₀)＝3+1，

∴＝3+1，

解之得x₀＝－2，

∴y₀＝(－2)³+(－2)－16＝－26，

k＝3×(－2)²+1＝13.

∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．

(3)∵切线与直线y＝－+3垂直，

∴切线的斜率k＝4.

设切点的坐标为(x₀，y₀)，则f′(x₀)＝3+1＝4，

∴x₀＝±1，

∴或

切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x+1)－18.

即y＝4x－18或y＝4x－14.

8．(2009·福建高考)若曲线f(x)＝ax²+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．

解析：f′(x)＝2ax+.

∵f(x)存在垂直于y轴的切线，

∴f′(x)＝0有解，即2ax+＝0有解，

∴a＝－，∴a∈(－∞，0)．

答案：(－∞，0)

7．(2009·宁夏、海南高考)曲线y＝xe^x+2x+1在点(0,1)处的切线方程为________________．

解析：y′＝e^x+x·e^x+2，y′|_x＝0＝3，

∴切线方程为y－1＝3(x－0)，∴y＝3x+1.

答案：y＝3x+1

6．(2010·福建四地六校联考)下列曲线的所有切线构成的集合中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．f(x)＝e^x 　　　B．f(x)＝x³ 　　　C．f(x)＝lnx　 　　　D．f(x)＝sinx

解析：设切点的横坐标为x₁，x₂

则存在无数对互相垂直的切线，即f′(x₁)·f′(x₂)＝－1有无数对x₁，x₂使之成立

对于A由f′(x)＝e^x＞0，

所以不存在f′(x₁)·f′(x₂)＝－1成立；

对于B由于f′(x)＝3x²＞0，

所以也不存在f′(x₁)·f′(x₂)＝－1成立；

对于C由于f(x)＝lnx的定义域为(0，+∞)，

∴f′(x)＝＞0，

对于Df′(x)＝cosx，∴f′(x₁)·f′(x₂)＝cosx₁·cosx₂，当x₁＝2kπ，x₂＝(2k+1)π，k∈Z，f′(x₁)·f′(x₂)＝－1恒成立．

答案：D

5.(2009·辽宁高考)曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为　　　　　　　　　 (　)

A．y＝x－2 　　　　　　　　B．y＝－3x+2

C．y＝2x－3 　　　　　　　D．y＝－2x+1

解析：y′＝()′＝，∴k＝y′|_x＝1＝－2.

l：y+1＝－2(x－1)，即y＝－2x+1.

答案：D

4．设f(x)＝(ax+b)sinx+(cx+d)cosx，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcosx.

解：由已知f′(x)＝[(ax+b)sinx+(cx+d)cosx]′

＝[(ax+b)sinx]′+[(cx+d)cosx]′

＝(ax+b)′sinx+(ax+b)(sinx)′+(cx+d)′cosx+(cx+d)·(cosx)′

＝asinx+(ax+b)cosx+ccosx－(cx+d)sinx

＝(a－cx－d)sinx+(ax+b+c)cosx.

又∵f′(x)＝xcosx，

∴必须有即

解得a＝d＝1，b＝c＝0.

3．(2009·安徽高考)设函数f(x)＝x³+x²+tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′(1)的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．[－2,2] 　　　　B．[，]　　　 C．[，2] 　　　　D．[，2]

解析：∵f′(x)＝sinθ·x²+cosθ·x，

∴f′(1)＝sinθ+cosθ＝2sin(θ+)．

∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]．

∴sin(θ+)∈[，1]，∴f′(1)∈[，2]．

答案：D

2．设f₀(x)＝cosx，f₁(x)＝f₀′(x)，f₂(x)＝f₁′(x)，…，f_n+1(x)＝f_n′(x)，n∈N，则f₂₀₁₀(x)＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 (　)

A．sinx　 　　　B．－sinx　　　　 C．cosx 　　　　D．－cosx

解析：∵f₁(x)＝(cosx)′＝－sinx，f₂(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f₃(x)＝(－cosx)′＝sinx，f₄(x)＝(sinx)′＝cosx，…，由此可知f_n(x)的值周期性重复出现，周期为4，

故f₂₀₁₀(x)＝f₂(x)＝－cosx.

答案：D

1.设f(x)＝xlnx，若f′(x₀)＝2，则x₀＝　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．e²　 　　　　B．e　　　　 C.　 　　　　D．ln2

解析：f′(x)＝x×+1×lnx＝1+lnx，由1+lnx₀＝2，

知x₀＝e.

答案：B

12.(文)某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：

y＝

求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻.

解：(1)当6≤t＜9时，

y′＝－t²－t+36＝－(t²+4t－96)

＝－(t+12)(t－8).

令y′＝0，得t＝－12或t＝8.

∴当t＝8时，y有最大值.

y_max＝18.75(分钟).

(2)当9≤t≤10时，y＝t+是增函数，

∴当t＝10时，y_max＝15(分钟).

(3)当10＜t≤12时，y＝－3(t－11)²+18，

∴当t＝11时，y_max＝18(分钟).

综上所述，上午8时，通过该路段用时最多，为18.75分钟.

(理)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为了鼓励销售商订购，决定每一次订购量超过100个时，每多订购一个，多订购的全部零件的出厂单价就降0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.

(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？

(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式.

(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利 润又是多少元？

解：(1)设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x₀个，则x₀＝100+＝550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元.

(2)当0＜x≤100时，P＝60；

当100＜x＜550时，P＝60－0.02(x－100)＝62－；

当x≥550时，P＝51.

所以P＝f(x)＝

　(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则

L＝(P－40)x＝

当x＝500时，L＝6000；

当x＝1000时，L＝11000.

因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元.