5.已知函数y=x2与y=kx(k>0)的图象所围成的阴影部分
(如图所示)的面积为,则k=________.
解析:直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0,k],
再由(kx-x2)dx=(-)
==求得k=2.
答案:2
4.如图,函数y=-x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合
图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是 ( )
A.1 B. C. D.2
解析:函数y=-x2+2x+1与y=1的两个交点为(0,1)和(2,1),所以闭合图形的面积等于(-x2+2x+1-1)dx=
(-x2+2x)dx=.
答案:B
3.计算以下定积分:
(1) (2x2-)dx;
(2)(+)2dx;
(3)(sinx-sin2x)dx;
解:(1) (2x2-)dx=(x3-lnx)
=-ln 2-=-ln 2.
(2)(+)2dx=
(x++2)dx
=(x2+lnx+2x)
=(+ln 3+6)-(2+ln 2+4)
=ln+.
(3) (sinx-sin2x)dx=(-cosx+cos2x)
=(--)-(-1+)=-.
题组二 |
求曲多边形的面积 |
2.设f(x)=则f(x)dx等于
( )
A. B. C. D.不存在
解析:数形结合,
f(x)dx=
x2dx+
(2-x)dx
=
=.
答案:C
1.已知f(x)为偶函数且f(x)dx=8,则
f(x)dx等于
( )
A.0 B.4 C.8 D.16
解析:原式=f(x)dx+
f(x)dx,
∵原函数为偶函数,
∴在y轴两侧的图象对称,
∴对应的面积相等,即8×2=16.
答案:D
12.(2010·南通模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1时都取得极值,
(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间;
(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.
解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f′(x)=3x2+2ax+b,
由f′(-)=-a+b=0,f′(1)=3+2a+b=0得a=-,b=-2,
f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表:
x |
(-∞,-) |
- |
(-,1) |
1 |
(1,+∞) |
f′(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
f(x) |
![]() |
极大值 |
![]() |
极小值 |
![]() |
所以函数f(x)的递增区间是(-∞,-)与(1,+∞),递减区间(-,1);
(2)f(x)=x3-x2-2x+c,x∈[-1,2],当x=-时,f(-)=+c为极大值,而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值,要使f(x)<c2,x∈[-1,2]恒成立,则只需要c2>f(2)=2+c,得c<-1,或c>2.
11.设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是 ( )
解析:对于图A来说,抛物线为函数f(x),直线为f′(x);对于图B来说,上凸的曲线为函数f(x),下凹的曲线为f′(x);对于图C来说,下面的曲线为函数f(x),上面的曲线f′(x).只有图D不符合题设条件.
答案:D
10.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100
元,已知总营业收入R与年产量x的关系是R=R(x)=
,则总利润最大时,每年生产的产品是 ( )
A.100 B.150 C.200 D.300
解析:由题意得,总成本函数为C=C(x)=20 000+100x,
所以总利润函数为
P=P(x)=R(x)-C(x)
=
而P′(x)=
令P′(x)=0,得x=300,易知x=300时,P最大.
答案:D
9.已知对任意实数x,都有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0时, f′(x)>0,g′(x)>0,则x<0时 ( )
A.f′(x)>0,g′(x)>0 B.f′(x)>0,g′(x)<0
C.f′(x)<0,g′(x)>0 D.f′(x)<0,g′(x)<0
解析:由题意知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数.当x>0时,f(x),g(x)都单调递增,则当x<0时,f(x)单调递增,g(x)单调递减,即f′(x)>0,g′(x)<0.
答案:B
8.(文)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线l不过第四象限且斜率为3,又坐标原点到切线l的距离为,若x=时,y=f(x)有极值,
(1)求a,b,c的值;
(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.
解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得
f′(x)=3x2+2ax+b.
当x=1时,切线l的斜率为3,可得2a+b=0. ①
当x=时,y=f(x)有极值,则f′()=0,可得
4a+3b+4=0. ②
由①②解得a=2,b=-4.
设切线l的方程为y=3x+m.
由原点到切线l的距离为,则=,
解得m=±1.
∵切线l不过第四象限,∴m=1.
由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.
∴1+a+b+c=4,∴c=5;
(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,
∴f′(x)=3x2+4x-4.
令f′(x)=0,得x=-2,x=.
f(x)和f′(x)的变化情况如下表:
x |
[-3,-2) |
-2 |
(-2,) |
|
(,1] |
f′(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
f(x) |
![]() |
极大值 |
![]() |
极小值 |
![]() |
∴f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=13,
在x=处取得极小值f()=.
又f(-3)=8,f(1)=4,
∴f(x)在[-3,1]上的最大值为13,最小值为.
(理)已知函数f(x)=x3+2bx2+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=f(x)+mx,若g(x)的极值存在,求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值.
解:(1)由已知,切点为(2,0),故有f(2)=0,
即4b+c+3=0. ①
f′(x)=3x2+4bx+c,由已知,f′(2)=12+8b+c=5.
得8b+c+7=0. ②
联立①、②,解得c=1,b=-1,
于是函数解析式为f(x)=x3-2x2+x-2.
(2)g(x)=x3-2x2+x-2+mx,
g′(x)=3x2-4x+1+,令g′(x)=0.
当函数有极值时,Δ≥0,方程3x2-4x+1+=0有实根,
由Δ=4(1-m)≥0,得m≤1.
①当m=1时,g′(x)=0有实根x=,在x=左右两侧均有g′(x)>0,故函数g(x)无极值.
②当m<1时,g′(x)=0有两个实根,
x1=(2-),x2=(2+),
当x变化时,g′(x)、g(x)的变化情况如下表:
x |
(-∞,x1) |
x1 |
(x1,x2) |
x2 |
(x2,+∞) |
g′(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
g(x) |
?![]() |
极大值 |
?![]() |
极小值 |
?![]() |
故在m∈(-∞,1)时,函数g(x)有极值;
当x=(2-)时g(x)有极大值;
当x=(2+)时g(x)有极小值.
题组三 |
导数的综合应用 |
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