12.已知函数f(x)＝ax²+bx+c(a＞0，b∈R，c∈R).

(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，

F(x)＝求F(2)+F(－2)的值；

(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]恒成立，试求b的取值范围.

解：(1)由已知c＝1，f(－1)＝a－b+c＝0，且－＝－1，解得a＝1，b＝2.

∴f(x)＝(x+1)².

∴F(x)＝

∴F(2)+F(－2)＝(2+1)²+[－(－2+1)²]＝8.

(2)由题知f(x)＝x²+bx，原命题等价于－1≤x²+bx≤1在x∈(0,1]恒成立，即b≤－x且b≥－－x在x∈(0,1]恒成立，

根据单调性可得－x的最小值为0，

－－x的最大值为－2，

所以－2≤b≤0.

11.规定记号“*”表示一种运算，即a*b＝+a+b，a，b是正实数，已知1]；

(2)函数f(x)＝k*x的值域是　　.

解析：(1)1]k)+1+k＝3，解得k＝1.

(2)f(x)＝k*x＝1]x)+1+x≥1.

答案：(1)1　(2)[1，+∞)

10.设f(x)＝若f(g(x))的值域是[0，+∞)，则函数y＝g(x)的值域是　 (　)

A.(－∞，－1]∪[1，+∞)　　　　　　　 B.(－∞，－1]∪[0，+∞)

C.[0，+∞) 　　　　　　　　　　　　　　D.[1，+∞)

解析：如图为f(x)的图象，由图象知f(x)的值域为(－1，+∞)，

若f(g(x))的值域是[0，+∞)，只需g(x)∈(－∞，－1]∪[0，+∞).

答案：B

8.分别求下列函数的值域：

(1)y＝；

(2)y＝－x²+2x(x∈[0,3])；

(3)y＝x+；

(4)y＝.

解：(1)分离变量法将原函数变形为

y＝＝2+.

∵x≠3，∴≠0.

∴y≠2，即函数值域为{y|y∈R且y≠2}.

(2)配方法

∵y＝－(x－1)²+1，根据二次函数的性质，可得原函数的值域是[－3,1].

(3)换元法

先考虑函数定义域，由1－x²≥0，得－1≤x≤1，设x＝cosθ(θ∈[0，π])，则y＝sinθ+cosθ＝sin(θ+)，易知当θ＝时，y取最大值为，当θ＝π时，y取最小值为－1，

∴原函数的值域是[－1，].

(4)分离常数法

y＝

∵1+2^x＞1，∴0＜＜2，

∴－1＜－1+＜1，∴所求值域为(－1,1).

9.(2010·福建“四地六校”联考)设集合A＝[0，)，B＝[，1]，函数f (x)＝若x₀∈A，且f [f (x₀)] ∈A，则x₀的取值范围是　　　　　　 (　)

A.(0，] 　　B.[，]　　 C.(，) 　　　D.[0，]

解析：∵0≤x₀＜，∴f(x₀)＝x₀+∈[，1)B，

∴f[f(x₀)]＝2(1－f(x₀))＝2[1－(x₀+)]＝2(－x₀).

∵f[f(x₀)]∈A，∴0≤2(－x₀)＜.

∴＜x₀≤，又∵0≤x₀＜，∴＜x₀＜.

答案：C

7.(2010·珠海模拟)若函数y＝f(x)的值域是[1,3]，则函数F(x)＝1－2f(x+3)的值域是　　.

解析：∵1≤f(x)≤3，

∴－6≤－2f(x+3)≤－2，

∴－5≤1－2f(x+3)≤－1，

即F(x)的值域为[－5,1].

答案：[－5,1]

6.对a，b∈R，记max{a，b}＝.函数f(x)＝max{|x+1|，|x－2|}(x∈R)的最小

值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.0　 　　　　　B.　　　　　　 C.　 　　　　　　　　D.3

解析：函数f(x)＝max{|x+1|，|x－2|}(x∈R)的图象如图所示，

由图象可得，其最小值为.

答案：C

5.若函数y＝f(x)的值域是[，3]，则函数F(x)＝f(x)+的值域是　　　　　　

A.[，3]　 　　B.[2，]　　　 C.[，] 　　　　　D.[3，]

解析：令t＝f(x)，则≤t≤3，由函数g(t)＝t+在区间[，1]上是减函数，在[1,3]上是增函数，则g()＝，g(1)＝2，g(3)＝，故值域为[2，].

答案：B

4.若函数f(x)＝(a²－2a－3)x²+(a－3)x+1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是(　)

A.a＝－1或3 　　　　　　　　B.a＝－1

C.a>3或a<－1　 　　　　　　　D.－1<a<3

解析：若a²－2a－3≠0，则函数为二次函数，不可能定义域和值域都为R，当a²－2a－3＝0时，得a＝－1或3，但当a＝3时，函数为常数函数，也不可能定义域和值域都为R，故a＝－1.

答案：B

3.若函数f(x)的定义域是[0,1]，则f(x+a)·f(x－a)(0＜a＜)的定义域是　　.

解析：∵f(x)的定义域为[0,1]，

∴要使f(x+a)·f(x－a)有意义，

须

且0<a<，a<1－a，∴a≤x≤1－a.

答案：[a,1－a]

2.若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是　　　　　　　 (　)

A.(0，)　 　B.(－∞，0)∪(0，+∞) 　C.(－∞，0]∪[，+∞)　 　　D.[0，)

解析：依题意，函数的定义域为R，

即mx²+4mx+3≠0恒成立.

①当m＝0时，得3≠0，故m＝0适合，可排除A、B.

②当m≠0时，16m²－12m<0，

得0<m<，综上可知0≤m<，排除C.

答案：D