10.已知函数f(x)=x2-2ax+a,在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=在区间(1,+∞)上一定 ( )
A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数
解析:由题意a<1,又函数g(x)=x+-2a在[,+∞)上为增函数,故选D.
答案:D
9.设奇函数f(x)在 [-1,1]上是增函数,f(-1)=-1.若函数f(x)≤t2-2at+1对所有的x∈[-1,1]都成立,则当a∈[-1,1]时,t的取值范围是 .
解析:若函数f(x)≤t2-2at+1对所有的x∈[-1,1]都成立,由已知易得f(x)的最大值是1,
∴1≤t2-2at+1⇔2at-t2≤0,
设g(a)=2at-t2(-1≤a≤1),欲使2at-t2≤0恒成立,
则⇔t≥2或t=0或t≤-2.
答案:t≤-2或t=0或t≥2
题组四 |
函数单调性的综合应用 |
8.(2009·四川高考)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),则f()的值是 ( )
A.0 B. C.1 D.
解析:令x=-,∴-f()=f(-)=f()
(∵f(-)=f()),∴f()=0.
令x=,∴f()=f(),∴f()=0.
令x=,∴f()=f(),∴f()=0.
答案:A
7.已知f (x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设a=f (log47),b=f (log3),c=f (0.20.6),则a,b,c的大小关系是 ( )
A.c<b<a B.b<c<a C.c>a>b D.a<b<c
解析:由题意f (x)=f (|x|).
∵log47=log2>1,|log3|=log23>1,0<0.20.6<1,
∴|log3|>|log47|>|0.20.6|.
又∵f(x)在(-∞,0]上是增函数且为偶函数,
∴f(x)在[0,+∞)上是减函数.∴c>a>b.
答案:C
6.已知函数f (x)= (a≠1).
(1)若a>0,则f (x)的定义域是 ;
(2)若f (x)在区间(0,1]上是减函数,则实数a的取值范围是 .
解析:当a>0且a≠1时,由3-ax≥0得x≤,即此时函数f(x)的定义域是(-∞,];
(2)当a-1>0,即a>1时,要使f(x)在(0,1]上是减函数,则需3-a×1≥0,此时1<a≤3.
当a-1<0,即a<1时,要使f(x)在(0,1]上是减函数,则需-a>0,
此时a<0.
综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,0)∪(1,3].
答案:(1)(-∞,] (2)(-∞,0)∪(1,3]
题组三 |
抽象函数的单调性及最值 |
5.(2010·黄冈模拟)已知函数f(x)= (2x2+x),则f (x)的单调递增区间为 ( )
A.(-∞,-) B.(-,+∞) C.(0,+∞) D.(-∞,-)
解析:由2 x 2+x>0,得x>0或x<-,
令h(x)=2 x 2+x,则h(x)的单调减区间为(-∞,-).
又∵x <-,
∴f (x)的单调递增区间为(-∞,-).
答案:D
4.如果函数f (x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是
( )
A.[-3,+∞) B.(-∞,-3] C.(-∞,5] D.[3,+∞)
解析:f(x)=x2+2(a-1)x+2的对称轴为x=1-a,
∴f (x)在(-∞,1-a]上是减函数,要使f(x)在区间(-∞,4]上是减函数,则只需1-a≥4,即a≤-3.
答案:B
3.讨论函数f(x)=x+(a>0)的单调性.
解:f(x)=x+(a>0),
∵定义域为{x|x∈R,且x≠0}且
f (-x)=-x+=-(x+)=-f (x).
∴f (x)为奇函数,
所以先讨论f (x)在(0,+∞)上的单调性.
设x 1> x 2>0,
则f (x 1)-f (x2)=x1+-x2-=(x1-x2)(1-),
∵当0<x2<x1≤时,恒有>1.
则f (x1)-f (x2)<0,故f (x)在(0,]上是减函数.
当x1>x2≥时,恒有0<<1,
则f (x1)-f (x2)>0,故f (x)在[,+∞)上是增函数.
∵f (x)是奇函数,
∴f (x)在(-∞,-],[,+∞)上为增函数;
f (x)在[-,0),(0,]上为减函数.
题组二 |
函数的单调区间 |
2.函数y=x2+b x+c(x∈[0,+∞))是单调函数的充要条件是 ( )
A.b≥0 B.b≤0 C. b>0 D. b<0
解析:∵函数y=x2+bx+c在[0,+∞)上为单调函数
∴x=-≤0,即b≥0.
答案:A
1.(2009·福建高考)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的是 ( )
A.f(x)= B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1)
解析:∵对任意的x1,x2∈(0,+∞),当x1<x2时,
都有f(x1)>f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上为减函数.
答案:A
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