8.(2010·滨州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2008^x+log₂₀₀₈x，则方程f(x)＝0的实根的个数为　　.

解析：当x＞0时，f(x)＝0即2008^x＝－log₂₀₀₈x，在同一坐标系下分别画出函数f₁(x)＝2008^x，f₂(x)＝－log₂₀₀₈x的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)＝0只有一个实根，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x＜0时，方程f(x)＝0也有一个实根，又因为f(0)＝0，所以方程f(x)＝0的实根的个数为3.

答案：3

7.已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的偶函数，在(0，+∞)上单调递减，且f()＞0＞f(－)，则方程f(x)＝0的根的个数为　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.0 　　　　B.1 　　　C.2 　　　　　　D.3

解析：由于函数是偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，因此在(－∞，0)上单调递增，又因为f()＞0＞f(－)＝f()，所以函数f(x)在(，)上与x轴有一个交点，必在(－，－)上也有一个交点，故方程f(x)＝0的根的个数为2.

答案：C

6.设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x+2)＝f(x)+f(2)，则f(5)＝　　　　　 (　)

A.0 　　　　B.1 　　　C. 　　　　D.5

解析：由f(1)＝，

对f(x+2)＝f(x)+f(2)，

令x＝－1，

得f(1)＝f(－1)+f(2).

又∵f(x) 为奇函数，∴f(－1)＝－f(1).

于是f(2)＝2f(1)＝1；

令x＝1，得f(3)＝f(1)+f(2)＝，

于是f(5)＝f(3)+f(2)＝.

答案：C

5.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x+4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x²，则f(7)＝(　)

A.－2　 　　　B.2　　　　　 C.－98　 　　　　　　D.98

解析：由f(x+4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)，

又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，

f(1)＝2×1²＝2，∴f(7)＝－2.故选A.

答案：A

4.已知函数f (x)＝ax⁴+bcosx－x，且f (－3)＝7，则f (3)的值为　　　　　　　　　 (　)

A.1　 　　　B.－7 　　　C.4 　　　　D.－10

解析：设g(x)＝ax⁴+bcosx，则g(x)＝g(－x).由f (－3)＝g(－3)+3，得g(－3)＝f(－3)－3＝4，所以g(3)＝g(－3)＝4，所以f (3)＝g(3)－3＝4－3＝1.

答案：A

3.(2009·浙江高考)若函数f(x)＝x²+(a∈R)，则下列结论正确的是　　　　　　 (　)

A.∀a∈R，f(x) 在(0，+∞)上是增函数

B.∀a∈R，f(x)在(0，+∞)上是减函数

C.∃a∈R，f(x)是偶函数

D.∃a∈R，f(x)是奇函数

解析：当a＝16时，f(x)＝x²+，f′(x)＝2x－，

令f′(x)＞0得x＞2.

∴f(x)在(2，+∞)上是增函数，故A、B错.

当a＝0时，f(x)＝x²是偶函数，故C正确.

D显然错误，故选C.

答案：C

2.(2010·长郡模拟)已知二次函数f(x)＝x²－ax+4，若f(x+1)是偶函数，则实数a的值为(　)

A.－1　　 　B.1 　　C.－2　 　　　　D.2

解析：∵f(x)＝x²－ax+4，

∴f(x+1)＝(x+1)²－a(x+1)+4

＝x²+2x+1－ax－a+4

＝x²+(2－a)x+5－a，

f(1－x)＝(1－x)²－a(1－x)+4

＝x²－2x+1－a+ax+4

＝x²+(a－2)x+5－a.

∵f(x+1)是偶函数，

∴f(x+1)＝f(－x+1)，

∴a－2＝2－a，即a＝2.

答案：D

1.已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是　　　　　　 (　)

①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)+x.

A.①③　 　　　　　　B.②③

C.①④　 　　　　　　D.②④

解析：由奇函数的定义验证可知②④正确，选D.

答案：D

12.已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且对任意的正实数x，y都有f(xy)＝f(x)+f(y)，且当x＞1时，f(x)＞0，f(4)＝1，

(1)求证：f(1)＝0；

(2)求f()；

(3)解不等式f(x)+f(x－3)≤1.

解：(1)证明：令x＝4，y＝1，则f(4)＝f(4×1)＝f(4)+f(1).∴f(1)＝0.

(2)f(16)＝f(4×4)＝f(4)+f(4)＝2，f(1)＝f(×16)＝f()+f(16)＝0，

故f()＝－2.

(3)设x₁，x₂＞0且x₁＞x₂，于是f()＞0，

∴f(x₁)＝f(×x₂)＝f()+f(x₂)＞f(x₂).

∴f(x)为x∈(0，+∞)上的增函数.

又∵f(x)+f(x－3)＝f[x(x－3)]≤1＝f(4)，

∴⇒3＜x≤4.

∴原不等式的解集为{x|3＜x≤4}.

11.已知函数f (x)＝，x∈[1，+∞).

(1)当a＝4时，求f(x)的最小值；

(2)当a＝时，求f(x)的最小值；

(3)若a为正常数，求f(x)的最小值.

解：(1)当a＝4时，f(x)＝x++2，易知，f(x)在[1,2]上是减函数，在(2，+∞)上是增函数.

∴f(x)_min＝f(2)＝6.

(2)当a＝时，f(x)＝x++2.

易知，f(x)在[1，+∞)上为增函数.

∴f(x)_min＝f(1)＝.

(3)函数f(x)＝x++2在(0，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数.

若>1，即a>1时，f(x)在区间[1，+∞)上先减后增，f(x)_min＝f()＝2+2.

若≤1，即0<a≤1时，

f(x)在区间[1，+∞)上是增函数，

∴f(x)_min＝f(1)＝a+3.