2.已知log23=a,log37=b,则用a,b表示log1456为 .
解析:∵log23=a,log37=b,∴log27=ab,
∴log1456===
答案:
题组二 |
对数函数的图象 |
1.设函数f(x)=logax(a>0且a≠1),若f(x1x2…x2010)=8,则f()+f()+…+f(x)=( )
A.4 B.8 C.16 D.2loga8
解析:∵f(x1x2…x2010)=f(x1)+f(x2)+…+f(2010)=8,
∴f()+f()+…+f()=2[f(x1)+f(x2)+…+f(x2010)]
=2×8=16.
答案:C
12.设f(x)=ax+b同时满足条件f(0)=2和对任意x∈R都有f(x+1)=2f(x)-1成立.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)的定义域为[-2,2],且在定义域内g(x)=f(x),且函数h(x)的图象与g(x)的图象关于直线y=x对称,求h(x);
(3)求函数y=g(x)+h(x)的值域.
解:(1)由f(0)=2,得b=1,
由f(x+1)=2f(x)-1,得ax(a-2)=0,
由ax>0得a=2,
所以f(x)=2x+1.(2)由题意知,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)=2x+1.设点P(x,y)是函数h(x)的图象上任意一点,它关于直线y=x对称的点为P′(y,x),依题意点P′(y,x)在函数g(x)的图象上,即x=2y+1,
所以y=log2(x-1),即h(x)=log2(x-1)(x∈[,5]).
(3)由已知得,y=log2(x-1)+2x+1,且两个函数的公共定义域是[,2],所以函数y=g(x)+h(x)=log2(x-1)+2x+1(x∈[,2]).
由于函数g(x)=2x+1与h(x)=log2(x-1)在区间[,2]上均为增函数,
当x=时,y=2-1,
当x=2时,y=5,
所以函数y=g(x)+h(x)(x∈[,2])的值域为[2-1,5].
11.已知函数f(x)=若f(x0)≥4,则x0的取值范围是 .
解析:x≥1时:2x≥4,即2x≥22,∴x≥2;
x<1时:(x-1)2≥4,
即x-1≥2或x-1≤-2,
即x≥3或x≤-1,∴x≤-1.
答案:(-∞,-1]∪[2,+∞)
10.若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数,且满足f(x)-g(x)=ex,则有( )
A.f(2)<f(3)<g(0) B.g(0)<f(3)<f(2)
C.f(2)<g(0)<f(3) D.g(0)<f(2)<f(3)
解析:∵f(x)-g(x)=ex且f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数,
∴f(-x)-g(-x)=e-x,即-f(x)-g(x)=e-x,
解得f(x)=,g(x)=-.
∵f(x)在[0,+∞)上是增函数,
∴f(3)>f(2)>f(0)=0且g(0)=-1,
∴g(0)<f(2)<f(3),故选D.
答案:D
9.函数y=lg(3-4x+x2)的定义域为M,当x∈M时,求f(x)=2x+2-3×4x的最大值为 .
解析:由3-4x+x2>0得x>3或x<1,
∴M={x|x>3或x<1},
f(x)=-3×22x+2x+2=-3(2x-)2+.
∵x>3或x<1,∴2x>8或0<2x<2,
∴当2x=,即x=log2时,f(x)最大,最大值为.
答案:
题组四 |
指数函数的综合应用 |
8.(2010·永州模拟)函数y=|2x-1|在区间(k-1,k+1)内不单调,则k的取值范围是 ( )
A.(-1,+∞) B.(-∞,1) C.(-1,1) D.(0,2)
解析:由于函数y=|2x-1|在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,而函数在区间(k-1,k+1)内不单调,所以有k-1<0<k+1,解得-1<k<1.
答案:C
7.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是 ( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
解析:由f(1)=,得a2=,于是a=,因此f(x)=()|2x-4|.因为g(x)=|2x-4|在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是[2,+∞).
答案:B
6.若x∈(2,4),a=2,b=(2x)2,c=2,则a、b、c的大小关系是 ( )
A.a>b>c B. a>c>b C. c>a>b D.b>a>c
解析:∵b=(2x)2=22x,
∴要比较a,b,c的大小,只要比较x2,2x,2x当x∈(2,4)时的大小即可.
用特殊值法,取x=3,容易得知,x2>2x>2x,
则a>c>b.
答案:B
5.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的图象如右图所示,
则函数g(x)=ax+b的图象是 ( )
解析:由f(x)图象,得0<a<1,b<-1,
∴g(x)为减函数且g(0)=1+b<0.
∴A项符合题意.
答案:A
题组三 |
指数函数的性质 |
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