7．在数列{a_n}中，a₁＝1，a₂＝5，a_n+2＝a_n+1－a_n(n∈N^*)，则a_{1 000}＝　　　　　 (　)

A．5　 　　　B．－5 　　　C．1 　　　D．－1

解析：由a₁＝1，a₂＝5，a_n+2＝a_n+1－a_n(n∈N^*)，可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….此数列为周期数列，由此可得a_{1 000}＝－1.

答案：D

6.在数列{a_n}中，a₁＝2，a_n+1＝a_n+ln(1+)，则a_n＝　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．2+lnn 　　B．2+(n－1)lnn　　 C．2+nlnn　 　　D．1+n+lnn

解析：法一：由已知，a_n+1－a_n＝ln，a₁＝2，

∴a_n－a_n－1＝ln，

a_n－1－a_n－2＝ln，

……

a₂－a₁＝ln，

将以上n－1个式子累加得：

a_n－a₁＝ln+ln+…+ln

＝ln(··…·)＝lnn，

∴a_n＝2+lnn.

法二：由a₂＝a₁+ln2＝2+ln2，排除C、D；

由a₃＝a₂+ln(1+)＝2+ln3，排除B.

答案：A

5．已知数列{a_n}的前n项和S_n＝－n²+24n(n∈N^?)．

(1)求{a_n}的通项公式；

(2)当n为何值时，S_n达到最大？最大值是多少？

解：(1)n＝1时，a₁＝S₁＝23；

n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝－2n+25.

经验证，a₁＝23符合a_n＝－2n+25，

∴a_n＝－2n+25(n∈N^?)．

(2)法一：∵S_n＝－n²+24n＝－(n－12)²+144，

∴n＝12时，S_n最大且S_n＝144.

法二：∵a_n＝－2n+25，

∴a_n＝－2n+25＞0，有n＜，

∴a₁₂＞0，a₁₃＜0，故S₁₂最大，最大值为144.

4.(2010·福州模拟)已知数列{a_n}的前n项和S_n＝n²－9n，第k项满足5＜a_k＜8，则k＝(　)

A．9　 　　　B．8　 　　　　C．7 　　　　　D．6

解析：a_n＝

＝

∵n＝1时适合a_n＝2n－10，

∴a_n＝2n－10.

∵5＜a_k＜8，∴5＜2k－10＜8，

∴＜k＜9.

又∵k∈N^*，∴k＝8.

答案：B

3．n个连续自然数按规律排成下表：

　 0　 3　→　 4　 7　→　 8　11　…

　 ↓　 　↑　 　　↓　 　↑　 　　↓　 　↑

　 　1 → 　2 　　　5 →　 　6　 　　9 →　 　10

根据规律，从2 009到2 011的箭头方向依次为　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．↓→　　　　　　B．→↑

C．↑→　　　　　　　　　　 　D．→↓

解析：观察4的倍数0,4,8，…的位置．由于2 009＝4×502+1，故2 009在箭头↓的下方，从而2 009与2 010之间是箭头→，2 010与2 011之间是箭头↑.

答案：B

2．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是　　　　　　　 (　)

A．a_n＝n²－n+1 　　　　　　　　　　　B．a_n＝

C．a_n＝　 　　　　　　　　　　　D．a_n＝

解析：从图中可观察星星的构成规律，

n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；

n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…

∴a_n＝1+2+3+4+…+n＝.

答案：C

1.数列、、2、…，则2是该数列的　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．第6项　 　　　B．第7项　　　 C．第10项　 　D．第11项

解析：原数列可写成、、，….

∵2＝，∴20＝2+(n－1)×3，∴n＝7.

答案：B

11.已知a是实数，函数f(x)＝2ax²+2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围.

解：若a＝0，则f(x)＝2x－3显然在[－1,1]上没有零点，所以a≠0.

令Δ＝4+8a(3+a)＝8a²+24a+4＝0，解得a＝.

①当a＝时，y＝f(x)恰有一个零点在[－1,1]上；而a＝时，经检验不　　

符合要求.

②当f(－1)·f(1)＝(a－1)(a－5)≤0时，得1≤a≤5，因当a＝5时，方程f(x)＝0在[－1,1] 上有两个相异实根，故1≤a＜5时，y＝f(x)在[－1,1]上恰有一个零点；

③当y＝f(x)在[－1,1]上有两个零点时，则

解得a≥5或a＜.

综上所述，实数a的取值范围是{a|a≥1或a≤}.

10.已知关于x的二次函数f(x)＝x²+(2t－1)x+1－2t.

(1)求证：对于任意t∈R，方程f(x)＝1必有实数根；

(2)若＜t＜，求证：方程f(x)＝0在区间(－1,0)及(0，)内各有一个实数根.

解：(1)证明：由f(1)＝1知f(x)＝1必有实数根.

(2)当＜t＜时，因为f(－1)＝3－4t＝4(－t)＞0，

f(0)＝1－2t＝2(－t)＜0，

f()＝+(2t－1)+1－2t＝－t＞0，

所以方程f(x)＝0在区间(－1,0)及(0，)内各有一个实数根.

9.(2009·山东高考)若函数f(x)＝a^x－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是　　.

解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝a^x与函数y＝x+a交点的个数，由函数的图象可知a＞1时两函数图象有两个交点，0＜a＜1时两函数图象有唯一交点，故a＞1.

答案：(1，+∞)