5．已知等差数列{a_n}中，a₂＝6，a₅＝15，若b_n＝a_2n，则数列{b_n}的前5项和等于________．

解析：由⇒∴a_n＝3+3(n－1)＝3n，b_n＝a_2n＝6n，∴S₅＝×5＝90.

答案：90

4．(2010·广州模拟)已知数列{a_n}的前n项和S_n＝n²－9n，第k项满足5＜a_k＜8，则k等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．9　 　　　B．8　　　　　 C．7　　　 　D．6

解析：a_n＝

＝＝2n－10，

∵5＜a_k＜8，∴5＜2k－10＜8，

∴<k<9，又∵k∈N^*，∴k＝8.

答案：B

3.(2009·福建高考)等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₃＝6，a₃＝4，则公差d等于　 (　)

A．1　 　　　　B.　　　　　　　 C．2 　　　　　　D．3

解析：∵S₃＝＝6，而a₃＝4，∴a₁＝0，

∴d＝＝2.

答案：C

2．在数列{a_n}中，a₁＝1，a_n+1＝2a_n+2ⁿ.

(1)设b_n＝，证明：数列{b_n}是等差数列；

(2)求数列{a_n}的前n项和S_n.

解：(1)证明：由已知a_n+1＝2a_n+2ⁿ得

b_n+1＝＝＝+1＝b_n+1.

又b₁＝a₁＝1，

因此{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列．

(2)由(1)知＝n，即a_n＝n·2^n－1.

S_n＝1+2×2¹+3×2²+…+n×2^n－1，

两边乘以2得，2S_n＝2+2×2²+…+n×2ⁿ.

两式相减得

S_n＝－1－2¹－2²－…－2^n－1+n·2ⁿ

＝－(2ⁿ－1)+n·2ⁿ

＝(n－1)2ⁿ+1.

1.设命题甲为“a，b，c成等差数列”，命题乙为“+＝2”，那么　　　　　 (　)

A．甲是乙的充分不必要条件

B．甲是乙的必要不充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲是乙的既不充分也不必要条件

解析：由+＝2，可得a+c＝2b，但a、b、c均为零时，a、b、c成等差数列，但+≠2.

答案：B

12．已知S_n为正项数列{a_n}的前n项和，且满足S_n＝a+a_n(n∈N^*)．

(1)求a₁，a₂，a₃，a₄的值；

(2)求数列{a_n}的通项公式；

(3)(理)若b_n＝n()a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，试比较T_n与的大小．

解：(1)由S_n＝a+a_n(n∈N^*)可得

a₁＝a+a₁，解得a₁＝1；

S₂＝a₁+a₂＝a+a₂，解得a₂＝2；

同理，a₃＝3，a₄＝4.

(2)S_n＝+a，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

S_n－1＝+a，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

①－②即得(a_n－a_n－1－1)(a_n+a_n－1)＝0.

由于a_n+a_n－1≠0，所以a_n－a_n－1＝1，又由(1)知a₁＝1，故数列{a_n}为首项为1，公差为1的等差数列，故a_n＝n.

(3)(理)由(2)知a_n＝n，则b_n＝n()a_n＝，

故T_n＝+2×()²+…+n()ⁿ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

T_n＝()²+2×()³+…+(n－1)()ⁿ+n()ⁿ⁺¹，　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

①－②得：

T_n＝+()²+…+()ⁿ－n()ⁿ⁺¹＝1－，

故T_n＝2－，

∴T_n+1－T_n＝＞0，

∴T_n随n的增大而增大．

当n＝1时，T₁＝；当n＝2时，T₂＝1；

当n＝3时，T₃＝＝＞，所以n≥3时，T_n＞.

综上，当n＝1,2时，T_n＜；当n≥3时，T_n＞.

11．(文)数列{a_n}满足a_n+a_n+1＝(n∈N^*)，a₂＝2，S_n是数列{a_n}的前n项和，则S₂₁＝________.

解析：a₁＝－a₂＝－2，a₂＝2，a₃＝－2，a₄＝2，…，

知数列为周期数列，周期T＝2，a₁+a₂＝，

∴S₂₁＝10×+a₁＝5+－2＝.

答案：

(理)已知函数f(n)＝且a_n＝f(n)+f(n+1)，则a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀＝________.

解析：当n为奇数时，a_n＝n²－(n+1)²＝－(2n+1)，当n为偶数时，a_n＝－n²+(n+1)²＝2n+1，

∴a_n＝(－1)ⁿ(2n+1)，

∴a₁+a₂+…+a₁₀₀＝－3+5－7+…－199+201＝2×50＝100.

答案：100

10．(2010·温州模拟)设数列{a_n}的前n项和为S_n，令T_n＝，称T_n为数列a₁，a₂，…，a_n的“理想数”，已知数列a₁，a₂，…，a₅₀₁的“理想数”为2008，那么数列2，a₁，a₂…，a₅₀₁的“理想数”为　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．2004 　　　　B．2006　　　　　 C．2008 　　　　　　D．2010

解析：∵a₁，a₂，…，a₅₀₁的“理想数”为2008，

∴＝2008，

∴2，a₁，a₂…，a₅₀₁的理想数为

＝

＝2+

＝2+4×501＝2006.

答案：B

9.已知数列{a_n}的通项公式是a_n＝，其中a、b均为正常数，那么a_n与a_n+1的大小关系是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．a_n＞a_n+1 　B．a_n＜a_n+1

C．a_n＝a_n+1　 　　　　　　　　　D．与n的取值有关

解析：＝÷＝＝＜1，∵a_n+1＞0，∴a_n＜a_n+1.

答案：B

8．根据下列各个数列{a_n}的首项和基本关系式，求其通项公式．

(1)a₁＝1，a_n＝a_n－1+3^n－1(n≥2)；

(2)a₁＝1，a_n＝a_n－1(n≥2)．

解：(1)∵a_n＝a_n－1+3^n－1，

∴a_n－1＝a_n－2+3^n－2，

a_n－2＝a_n－3+3^n－3，

…

a₂＝a₁+3¹.

以上(n－1)个式子相加得

a_n＝a₁+3¹+3²+…+3^n－1

＝1+3+3²+…+3^n－1＝.

(2)∵a_n＝a_n－1(n≥2)，

∴a_n－1＝a_n－2，

…

a₂＝a₁.

以上(n－1)个式子相乘得

a_n＝a₁··……＝＝.