3．(2009·宁夏、海南高考)等比数列{a_n}的公比q＞0.已知a₂＝1，a_n+2+a_n+1＝6a_n，则{a_n}的前4项和S₄＝________.

解析：∵a_n+2+a_n+1＝6a_n，∴a_n·q²+a_n·q＝6a_n(a_n≠0)，

∴q²+q－6＝0，

∴q＝－3或q＝2.

∵q＞0，∴q＝2，∴a₁＝，a₃＝2，a₄＝4，

∴S₄＝+1+2+4＝.

2．(2009·浙江高考)设等比数列{a_n}的公比q＝，前n项和为S_n，则＝________.

解析：a₄＝a₁()³＝a₁，S₄＝＝a₁，

∴＝15.

答案：15

1.各项都是正数的等比数列中，a₂，a₃，a₁成等差数列，则的值为　　　 (　)

A. 　　　　B.　　　　　 C.　 　　　　　D.或

解析：设{a_n}的公比为q，∵a₁+a₂＝a₃，

∴a₁+a₁q＝a₁q²，即q²－q－1＝0，

∴q＝，又∵a_n＞0，∴q＞0，∴q＝，

＝＝.

答案：A

12．(2010·株州模拟)已知二次函数f(x)＝ax²+bx+c(x∈R)，满足f(0)＝f()＝0，且f(x)的最小值是－.设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，点(n，S_n)在函数f(x)的图象上．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)通过b_n＝构造一个新的数列{b_n}，是否存在非零常数c，使得{b_n}为等差数列；

(3)令c_n＝，设数列{c_n·2c_n}的前n项和为T_n，求T_n.

解：(1)因为f(0)＝f()＝0，所以f(x)的对称轴为x＝＝，又因为f(x)的最小值是－，由二次函数图象的对称性可设f(x)＝a(x－)²－.

又f(0)＝0，所以a＝2，所以f(x)＝2(x－)²－＝2x²－x.

因为点(n，S_n)在函数f(x)的图象上，所以S_n＝2n²－n.当n＝1时，a₁＝S₁＝1；当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝4n－3(n＝1时也成立)，所以a_n＝4n－3(n∈N^*)．

(2)因为b_n＝＝＝，令c＝－(c≠0)，即得b_n＝2n，此时数列{b_n}为等差数列，所以存在非零常数c＝－，使得{b_n}为等差数列．

(3)c_n＝＝＝2n，则c_n·2c_n＝2n×2²ⁿ＝n×2²ⁿ⁺¹.

所以T_n＝1×2³+2×2⁵+…+(n－1)2^2n－1+n×2²ⁿ⁺¹，

4T_n＝1×2⁵+2×2⁷+…+(n－1)2²ⁿ⁺¹+n×2²ⁿ⁺³，

两式相减得：－3T_n＝2³+2⁵+…+2²ⁿ⁺¹－n×2²ⁿ⁺³＝－n·2²ⁿ⁺³，

T_n＝+＝.

11．(文)在等差数列{a_n}中，若a₁<0，S₉＝S₁₂，则当n等于________时，S_n取得最小值．

解析：设数列{a_n}的公差为d，则由题意得

9a₁+×9×(9－1)d＝12a₁+×12×(12－1)d，

即3a₁＝－30d，∴a₁＝－10d.

∵a₁<0，∴d>0.

∴S_n＝na₁+n(n－1)d＝dn²－dn

＝²－.

∴S_n有最小值，又n∈N^*，

∴n＝10，或n＝11时，S_n取最小值．

答案：10或11

(理)若数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}满足b_n＝a_n·a_n+1·a_n+2(n∈N^*)，{b_n}的前n项和用S_n表示，若{a_n}满足3a₅＝8a₁₂＞0，则当n等于________时，S_n取得最大值．

解析：(先判断数列{a_n}中正的项与负的项)

∵3a₅＝8a₁₂＞0，∴3a₅＝8(a₅+7d)＞0，

解得a₅＝－d＞0，∴d＜0，∴a₁＝－d，

故{a_n}是首项为正数的递减数列．

由⇒⇒15≤n≤16，

∴n＝16.

答案：16

10.设数列{a_n}是等差数列，且a₄＝－4，a₉＝4，S_n是数列{a_n}的前n项和，则　　 (　)

A．S₅＜S₆ 　　　　B．S₅＝S₆ 　　　　C．S₇＝S₅ 　　　D．S₇＝S₆

解析：因为a₄＝－4，a₉＝4，所以a₄+a₉＝0，即a₆+a₇＝0，所以S₇＝S₅+a₆+a₇＝S₅.

答案：C

9．(2009·辽宁高考)等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且6S₅－5S₃＝5，则a₄＝________.

解析：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，则由6S₅－5S₃＝5，得6(a₁+3d)＝2，所以a₄＝.

答案：

8．在等差数列{a_n}中，已知log₂(a₅+a₉)＝3，则等差数列{a_n}的前13项的和S₁₃＝________.

解析：∵log₂(a₅+a₉)＝3，∴a₅+a₉＝2³＝8.

∴S₁₃＝＝＝＝52.

答案：52

7.设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃＝9，S₆＝36，则a₇+a₈+a₉等于　　　 (　)

A．63 　　　B．45 　　　C．36 　　　D．27

解析：由{a_n}是等差数列，则S₃，S₆－S₃，S₉－S₆成等差数列．

由2(S₆－S₃)＝S₃+(S₉－S₆)得到

S₉－S₆＝2S₆－3S₃＝45，即a₇+a₈+a₉＝45.

答案：B

6．已知数列{a_n}满足2a_n+1＝a_n+a_n+2(n∈N^*)，它的前n项和为S_n，且a₃＝5，S₆＝36.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设b_n＝6ⁿ+(－1)^n－1λ·2a_n(λ为正整数，n∈N^*)，试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．

解：(1)∵2a_n+1＝a_n+a_n+2，∴{a_n}是等差数列，设{a_n}的首项为a₁，公差为d，

由a₃＝5，S₆＝36得，解得a₁＝1，d＝2.

∴a_n＝2n－1.

(2)由(1)知b_n＝6ⁿ+(－1)^n－1·λ·2^2n－1，要使得对任意n∈N^*都有b_n+1＞b_n恒成立，

∴b_n+1－b_n＝6ⁿ⁺¹+(－1)ⁿ·λ·2²ⁿ⁺¹－6ⁿ－(－1)^n－1·λ·2^2n－1＝5·6ⁿ－5λ·(－1)^n－1·2^2n－1＞0恒成立，

即λ·(－1)^n－1＜()ⁿ.

当n为奇数时，

即λ＜2·()ⁿ，而()ⁿ的最小值为，

∴λ＜3.

当n为偶数时，λ＞－2()ⁿ，

而－2()ⁿ的最大值为－，∴λ＞－.

由上式可得－＜λ＜3，而λ为正整数，

∴λ＝1或λ＝2.