10．已知数列{a_n}的通项公式为a_n＝log₂(n∈N^*)，设其前n项和为S_n，则使S_n<－5成立的自然数n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(　)

A．有最大值63　 　　　　　　　　B．有最小值63

C．有最大值32　　　　　　　 　D．有最小值32

解析：法一：依题意有a_n＝log₂＝log₂(n+1)－log₂(n+2)，所以S_n＝log₂2－log₂3+log₂3－log₂4+…+log₂(n+1)－log₂(n+2)＝log₂2－log₂(n+2)＝1－log₂(n+2)，令1－log₂(n+2)<－5，解得n>62，故使S_n<－5成立的自然数n有最小值63.

法二：S_n＝log₂+log₂+…+log₂

＝log₂(××…×)＝log₂，

所以由S_n<－5，得log₂<－5，解得n>62，

故使S_n<－5成立的自然数n有最小值63.

答案：B

9.(2010·长郡模拟)数列{a_n}，已知对任意正整数n，a₁+a₂+a₃+…+a_n＝2ⁿ－1，则a+a+a+…+a等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．(2ⁿ－1)² 　　　　　B.(2ⁿ－1)　　　　　 C.(4ⁿ－1) 　　　　D．4ⁿ－1

解析：∵a₁+a₂+a₃+…+a_n＝2ⁿ－1，

∴a₁+a₂+a₃+…+a_n－1＝2^n－1－1，

∴a_n＝2ⁿ－2^n－1＝2^n－1，∴a＝4^n－1，

∴a+a+a+…+a＝＝(4ⁿ－1)．

答案：C

8．(2010·昌平模拟)设数列{a_n}满足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n－1a_n＝，n∈N^*.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设b_n＝，求数列{b_n}的前n项和S_n.

解：(1)∵a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n－1a_n＝，　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

∴当n≥2时，a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n－2a_n－1＝.　　　　　　　　　　　　　　 ②

①－②得3^n－1a_n＝，a_n＝.

在①中，令n＝1，得a₁＝，适合a_n＝，

∴a_n＝.

(2)∵b_n＝，∴b_n＝n3ⁿ.

∴S_n＝3+2×3²+3×3³+…+n3ⁿ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

∴3S_n＝3²+2×3³+3×3⁴+…+n3ⁿ⁺¹.④

④－③得2S_n＝n3ⁿ⁺¹－(3+3²+3³+…+3ⁿ)，

即2S_n＝n3ⁿ⁺¹－，

∴S_n＝+.

7.求和：S_n＝+++…+.

解：当a＝1时，S_n＝1+2+3+…+n＝；

当a≠1时，S_n＝+++…+，

S_n＝+++…++，

两式相减得，(1－)S_n＝+++…+－＝－，

即S_n＝，

∴S_n＝

6．在数列{a_n}中，a_n＝++…+，又b_n＝，求数列{b_n}的前n项的和．

解：由已知得：a_n＝(1+2+3+…+n)＝，

b_n＝＝8(－)，

∴数列{b_n}的前n项和为

S_n＝8[(1－)+(－)+(－)+…+(－)]

＝8(1－)＝.

5．数列a_n＝，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n+1)x+y+n＝0在y轴上的截距为　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　(　)

A．－10　 　　　　　B．－9 　　　　　　C．10 　　　　　　D．9

解析：数列的前n项和为

++…+＝1－＝＝，

所以n＝9，

于是直线(n+1)x+y+n＝0即为10x+y+9＝0，

所以在y轴上的截距为－9.

答案：B

4.设函数f(x)＝x^m+ax的导函数f′(x)＝2x+1，则数列{}(n∈N^*)的前n项和是　 (　)

A. 　　　　　B.　　　　　　 C. 　　　　　　D.

解析：f′(x)＝mx^m－1+a＝2x+1，∴a＝1，m＝2，

∴f(x)＝x(x+1)，

＝＝－，用裂项法求和得S_n＝.

答案：A

3．已知数列{a_n}中，a₁＝2，点(a_n－1，a_n)(n>1，且n∈N^*)满足y＝2x－1，则a₁+a₂+…+a₁₀＝________.

解析：∵a_n＝2a_n－1－1，∴a_n－1＝2(a_n－1－1)

∴{a_n－1}为等比数列，则a_n＝2^n－1+1，

∴a₁+a₂+…+a₁₀＝10+(2⁰+2¹+…+2⁹)

＝10+＝1 033.

答案：1 033

2．已知数列{a_n}的通项公式是a_n＝，其前n项和S_n＝，则项数n等于　 (　)

A．13 　　　　B．10 　　　　C．9 　　　　D．6

解析：∵a_n＝1－，

∴S_n＝(1－)+(1－)+(1－)+…+(1－)

＝n－(+++…+)

＝n－＝n－1+，

由S_n＝＝n－1+，

观察可得出n＝6.

答案：D

1.数列a₁+2，…，a_k+2k，…，a₁₀+20共有十项，且其和为240，则a₁+…+a_k+…+a₁₀之值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．31　　　 　B．120 　　　　　C．130　 　　　D．185

解析：a₁+…+a_k+…+a₁₀＝240－(2+…+2k+…+20)＝240－＝240－110＝130.

答案：C