1.下列变量之间的关系是函数关系的是 ( )
A.已知二次函数y=ax2+bx+c,其中,a,c是已知常数,取b为自变量,因变量是这个函数的判别式Δ=b2-4ac
B.光照时间和果树亩产量
C.降雪量和交通事故发生率
D.每亩施用肥料量和粮食亩产量
解析:由函数关系和相关关系的定义可知,①中Δ=b2-4ac,因为a、c是已知常数,b为自变量,所以给定一个b的值,就有唯一确定的Δ与之对应,所以Δ与b之间是一种确定的关系,是函数关系.②③④中两个变量之间的关系都是随机的、不确定的,所以不是函数关系.
答案:A
12.甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达.甲、乙
两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时,求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时
间的概率.
解:甲比乙早到4小时内乙需等待,甲比乙晚到2小时内甲需
等待.
以x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间,则有一艘船停
靠泊位时需等待一段时间的充要条件为-2≤x-y≤4,在如图
所示的平面直角坐标系内,(x,y)的所有可能结果是边长为24的正方形,而事件A“有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示.由几何概型公式得:
P(A)==.
故有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是.
11.在平面直角坐标系xOy中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D中随机投一点,则所投的点落在E中的概率是__________.
解析:如图:区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部(含
边界),区域E表示单位圆及其内部,因此P==.
答案:
10.平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为3 cm,把一枚半径为1 cm的硬币任意平掷在这个平面,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 ( )
A. B. C. D.
解析:平面被这一组平行线分割成条状区域,现对两条平行线之间的区域考虑:平行
线间的距离为3 cm,硬币半径为1 cm,要想硬币不与两条平行线相碰,硬币中心与两
条平行线的距离都应大于1 cm,如图:
硬币中心只有落在阴影部分(不包括边界)时,才能让硬币与两条平行线都不相碰,则硬
币中心落在阴影部分的概率为.整个平面由无数个这样的条状区域组成,故所求概率
是.
答案:B
9.已知函数f(x)=x2-2ax+b2,a,b∈R.
(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,b从集合{0,1,2}中任取一个元素,求方程f(x)
=0有两个不相等实根的概率;
(2)若a从区间[0,2]中任取一个数,b从区间[0,3]中任取一个数,求方程f(x)=0没有实
根的概率.
解:(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素,b取集合{0,1,2}中任一个元素,
∴a,b的取值的情况有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),
(3,1),(3,2).
其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值,
即基本事件总数为12.
设“方程f(x)=0有两个不相等的实根”为事件A,
当a≥0,b≥0时,方程f(x)=0有两个不相等实根的充要条件为a>b.
当a>b时,a,b取值的情况有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),
即A包含的基本事件数为6,
∴方程f(x)=0有两个不相等实根的概率
P(A)==.
(2)∵a从区间[0,2]中任取一个数,b从区间[0,3]中任取一个数,则试验的全部结果构成
区域Ω={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3},
这是一个矩形区域,其面积SΩ=2×3=6.
设“方程f(x)=0没有实根”为事件B,则事件B所构成的区域为
M={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3,a<b},
即图中阴影部分的梯形,其面积
SM=6-×2×2=4.
由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)=0没有实根的概率P(B)===.
题组三 |
生活中的几何概型 |
8.在边长为2的正三角形ABC内任取一点P,则使点P到三个顶点的距离至少有一个小
于1的概率是________.
解析:以A、B、C为圆心,以1为半径作圆,与△ABC
相交出三个扇形(如图所示),
当P落在阴影部分时符合要求.
∴P==.
答案:π
7.在区域内任取一点P,则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为( )
A. B. C. D.
解析:区域为△ABC内部(含边界),则概率为
P===.
答案:D
6.已知Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向区域Ω上随机投一点P,则点P落入区域A的概率为 ( )
A. B. C. D.
解析:作出两集合表示的平面区域如图所示.容易得出Ω所表示的平面区域为
三角形AOB及其边界,A表示的区域为三角形OCD及其边界.
容易求得D(4,2)恰为直线x=4,x-2y=0,x+y=6三线的交点.
则可得S△AOB=×6×6=18,S△OCD=×4×2=4.
所以点P落在区域A的概率为
答案:D
5.设-1≤a≤1,-1≤b≤1,则关于x的方程x2+ax+b2=0有实根的概率是( )
A. B. C. D.
解析:由题知该方程有实根满足条件作平面区域如右图:由图知阴
影面积为1,总的事件对应面积为正方形的面积,故概率为.
答案:B
4.(2009·辽宁高考)ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB的中点.在长方形ABCD内随机取一点,取到的点到O的距离大于1的概率为 ( )
A. B.1- C. D.1-
解析:对应长方形的面积为2×1=2,而取到的点到O的距离小于等于1时,其是以O
为圆心,半径为1所作的半圆,对应的面积为×π×12=π,那么满足条件的概率为:
1-=1-.
答案:B
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