9.(2009·天津高考改编)在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品,从这10件产品中任取3件,求:
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列;
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.
解:(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为,从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的结果数为C,那么从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)=,k=0,1,2,3.
所以随机变量X的分布列是
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
P |
|
|
|
|
(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A,“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1,“恰好取出2件一等品”为事件A2,“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1+A2+A3,而
P(A1)==,P(A2)=P(X=2)=,
P(A3)=P(X=3)=,
∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为
P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=.
题组四 |
离散型随机变量及其分布列的综合应用 |
8.在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于的是 ( )
A.P(X=2) B.P(X≤2)
C.P(X=4) D.P(X≤4)
解析:15个村庄中,7个村庄交通不方便,8个村庄交通方便,CC表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便、6个交通方便的村庄,故P(X=4)=.
答案:C
7.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,其分布列为P(X),则P(X=4)的值为( )
A. B. C. D.
解析:由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球,
故P(X=4)==.
答案:C
6.设一汽车在前进途中要经过4个路口,汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为,遇到红灯(禁止通行)的概率为.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地时才停止前进,X表示停车时已经通过的路口数,求:
(1)X的分布列;
(2)停车时最多已通过3个路口的概率.
解:(1)X的所有可能值为0,1,2,3,4.用Ak表示事件“汽车通过第k个路口时不停(遇绿灯)”,
则P(Ak)=(k=1,2,3,4),且A1,A2,A3,A4独立.
故P(X=0)=P(1)=;
P(X=1)=P(A1·2)=×=;
P(X=2)=P(A1·A2·3)=()2=;
P(X=3)=P(A1·A2·A3·4)=()3=;
P(X=4)=P(A1·A2·A3·A4)=()4=.
从而X有分布列:
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
P |
|
|
|
|
|
(2)P(X≤3)=1-P(X=4)=1-=.
即停车时最多已通过3个路口的概率为.
题组三 |
超几何分布问题 |
5.一袋中装有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,以X表示取出球的最大号码,求X的分布列.
解:随机变量X的取值为3,4,5,6.
P(X=3)==;
P(X=4)==;
P(X=5)==;
P(X=6)==.
故随机变量X的分布列为:
X |
3 |
4 |
5 |
6 |
P |
|
|
|
|
4.由于电脑故障,使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x,y”代替),其表如下:
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
P |
0.20 |
0.10 |
0.x5 |
0.10 |
0.1y |
0.20 |
则丢失的两个数据依次为______________.
解析:由于0.20+0.10+0.x5+0.10+0.1y+0.20=1,
得0.x5+0.1y=0.40,于是两个数据分别为2,5.
答案:2,5
题组二 |
求离散型随机变量的分布列 |
3.已知随机变量X的分布列为:P(X=k)=,k=1,2,…,则P(2<X≤4)等于( )
A. B. C. D.
解析:P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)=+=.
答案:A
2.设X是一个离散型随机变量,其分布列为:
X |
-1 |
0 |
1 |
P |
0.5 |
1-2q |
q2 |
则q等于 ( )
A.1 B.1± C.1- D.1+
解析:由分布列的性质得:
⇒
∴q=1-.
答案:C
1.下列分布列中,是离散型随机变量分布列的是 ( )
A.
X |
0 1 2 |
P |
0.3 0.4 0.5 |
B.
X |
x1 |
x2 |
x3 |
P |
0.3 |
-0.1 |
0.8 |
C.
X |
1 |
2 |
3 |
P |
|
|
|
D.
X |
x1 |
x2 |
x3 |
P |
|
|
|
解析:由离散型随机变量分布列的概念及性质可知C正确.
答案:C
6.某家庭电话,打进的电话响第一声时被接的概率为,响第二声时被接的概率为,响第三声时被接的概率为,响第四声时被接的概率为,则电话在响前四声内被接的概率为__________.
解析:设响n声时被接的概率为Pn,则P1=,P2=,P3=,P4=.故前四声内
被接的概率为P1+P2+P3+P4=.
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