0  387985  387993  387999  388003  388009  388011  388015  388021  388023  388029  388035  388039  388041  388045  388051  388053  388059  388063  388065  388069  388071  388075  388077  388079  388080  388081  388083  388084  388085  388087  388089  388093  388095  388099  388101  388105  388111  388113  388119  388123  388125  388129  388135  388141  388143  388149  388153  388155  388161  388165  388171  388179  447090 

1.(2010·广州模拟)若复数(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为  ( )

A.-6     B.13      C.     D.

解析:∵==是纯虚数,∴6+a=0,即a=-6.

答案:A

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12.(文)已知向量m=(cos,cos),n=(cos,sin),且x∈[0,π],令函数f(x)=2a m·n+b.

(1)当a=1时,求f(x)的递增区间;

(2)当a<0时,f(x)的值域是[3,4],求ab.

解:f(x)=2a m·n+b

=2a(cos2+sinx)+b

=2a(cosx+sinx+)+b

a(sinx+cosx)+a+b

asin(x+)+a+b.

(1)当a=1时,f(x)=sin(x+)+1+b.

令-+2x+≤+2

得-π+2x≤+2(k∈Z),

x∈[0,π],∴f(x)的递增区间为[0,].

(2)当a<0时,∵x∈[0,π],

x+∈[,],∴sin(x+)∈[-,1].

当sin(x+)=-时,f(x)=-a+a+bb

f(x)的最大值为b.

当sin(x+)=1时,f(x)=a+a+b=(1+)a+b.

f(x)的最小值为(1+)a+b.

∴解得a=1-,b=4.

(理)已知△ABC的外接圆半径为1,角ABC的对边分别为abc.向量m=(a,4cosB),n=(cosAb)满足mn.

(1)求sinA+sinB的取值范围;

(2)若实数x满足abxa+b,试确定x的取值范围.

解:(1)因为mn,所以=,即ab=4cosAcosB.

因为△ABC的外接圆半径为1,由正弦定理,得

ab=4sinAsinB.

于是cosAcosB-sinAsinB=0,即cos(A+B)=0.

因为0<A+Bπ.所以A+B=.故△ABC为直角三角形.

sinA+sinB=sinA+cosA=sin(A+),

因为<A+<,

所以<sin(A+)≤1,故1<sinA+sinB≤.

(2)x===.

t=sinA+cosA(1<t≤),则2sinAcosAt2-1,

x=,因为x′=<0,

x=在(1,]上是单调递减函数.

所以≥.所以实数x的取值范围是[,+∞).

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11.(2009·浙江高考)设向量a,b满足:|a|=3,|b|=4,a·b=0,以abab的模为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为       ( )

A.3      B.4      C.5      D.6

解析:当圆与三角形两边都相交时,有4个交点,本题新构造的三角形是直角三角形,其内切圆半径恰好为1.故它与半径为1的圆最多有4个交点.

答案:B

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10.(2010·长郡模拟)已知| |=1,||=,·=0,

C在∠AOB内,且∠AOC=30°,设m+n

 (mn∈R),则等于                         ( )

A.   B.3       C.        D.

解析:| |=1,| |=,·=0,

OAOB,且∠OBC=30°,

又∵∠AOC=30°,∴.

∴(m+n)·()=0,

∴-m2+n2=0,

∴3nm=0,

m=3n,∴=3.

答案:B

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9.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x),x∈R.

(1)若ab,求x的值;

(2)若ab,求|ab|.

解:(1)若ab

a·b=(1,x)·(2x+3,-x)

=1×(2x+3)+x(-x)=0.

整理得x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.

(2)若ab,则有1×(-x)-x(2x+3)=0,

x(2x+4)=0,解得x=0或x=-2.

x=0时,a=(1,0),b=(3,0),

∴|ab|=|(1,0)-(3,0)|=|(-2,0)|

==2.

x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),

∴|ab|=|(1,-2)-(-1,2)|=|(2,-4)|

==2.

题组四
平面向量数量积的综合应用

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8.(2009·广东高考)若平面向量ab满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a=________.

解析:设a=(xy),则a+b=(x+2,y-1)

由题意⇒

a=(-1,1)或a=(-3,1).

答案:(-1,1)或(-3,1)

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7.已知向量a=(1,2),向量b=(x,-2),且a⊥(ab),则实数x等于       ( )

A.-4     B.4    C.0     D.9

解析:∵a=(1,2),b=(x,-2),∴ab=(1-x,4),

a⊥(ab),∴a·(ab)=0,∴1-x+8=0,∴x=9.

答案:D

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6.设两个向量e1e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.

解:由已知,=|e1|2=4,=|e2|2=1,

e1·e2=2×1×cos60°=1.

∴(2te1+7e2)·(e1+te2)=2t+(2t2+7)e1·e2+7t

=2t2+15t+7.

由2t2+15t+7<0,得-7<t<-.

由2te1+7e2λ(e1+te2)(λ<0),得,

∴.由于2te1+7e2e1+te2的夹角为钝角,

故(2te1+7e2)·(e1+te2)<0且2te1+7e2λ(e1+te2)(λ<0),故t的取值范围是(-7,-)∪(-,-).

题组三
两向量的平行与垂直

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5.在△ABC中,·=3,△ABC的面积S∈[,],则夹角的取值范围是                                ( )

A.[,]     B.[,]      C.[,]     D.[,]

解析:设〈·〉=θ,由·=| || |cosθ=3,得| || |=,

S=| || |sinθ=××sinθ=tanθ.

由≤tanθ≤,得≤tanθ≤1,

∴≤θ≤.

答案:B

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4.(2009·全国卷Ⅰ)设非零向量abc满足|a|=|b|=|c|,a+bc,则〈ab〉=( )

A.150°     B.120°      C.60°     D.30°

解析:(a+b)2c2a·b=-,cos〈ab〉==-,〈ab〉=120°.

答案:B

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