19．(本小题满分12分)已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝(cos(－θ)，sin(－θ))．

(1)求证：a⊥b；

(2)若存在不等于0的实数k和t，使x＝a+(t²+3)b，

y＝－ka+tb，满足x⊥y，试求此时的最小值．

解：(1)证明：∵a·b

＝cos(－θ)·cos(－θ)+sin(－θ)·sin(－θ)

＝sinθcosθ－sinθcosθ＝0.

∴a⊥b.

(2)由x⊥y得：x·y＝0，

即[a+(t²+3)b]·(－ka+tb)＝0，

∴－ka²+(t³+3t)b²+[t－k(t²+3)]a·b＝0，

∴－k|a|²+(t³+3t)|b|²＝0.

又|a|²＝1，|b|²＝1，

∴－k+t³+3t＝0，∴k＝t³+3t.

∴＝＝t²+t+3＝(t+)²+.

故当t＝－时，有最小值.

18．(本小题满分12分)如图，在平行四边形ABCD中，

M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，

＝d，试用c，d表示，.

解：法一：设＝a，＝b，则

a＝+＝d+(－b)，　　　　　　　　　　　　　　　 ①

b＝+＝c+(－a)，　　　　　　　　　　　　　　　 ②

将②代入①得a＝d+(－)[c+(－a)]

⇒a＝d－c，代入②

得b＝c+(－)(d－c)＝c－d.

故＝d－c，＝c－d.

法二：设＝a，＝b.

所以＝b，＝a，

因而⇒，

即＝(2d－c)，＝(2c－d)．

17．(本小题满分12分)已知复数z满足：|z|＝1+3i－z，化简

解：设z＝a+bi(a，b∈R)，而|z|＝1+3i－z，即－1－3i+a+bi＝0，

则，⇒

∴z＝－4+3i.

∴＝＝＝3+4i.

16．在直角坐标系xOy中，i、j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，＝i+j，＝2i+mj，则实数m＝________.

解析：本题考查了向量的运算．由已知可得＝－＝i+(m－1)j.

当A＝90°时，·＝(i+j)·(2i+mj)＝2+m＝0，m＝－2.

当B＝90°时，·＝－(i+j)·[i+(m－1)·j]＝－(1+m－1)＝－m＝0，m＝0.

当C＝90°时，·＝－(2i+mj)·[－i－(m－1)j]＝2+m(m－1)＝m²－m+2＝0，此时m不存在．故m＝0或－2.

答案：0或－2

15．已知平面向量a，b，c满足a+b+c＝0，且a与b的夹角为135°，c与b的夹角为120°，|c|＝2，则|a|＝________.

解析：根据已知条件，组成以|a|，|b|，|c|为边长的三角形，由正弦定理得＝，又|c|＝2，所以|a|＝.

答案：

14．(文)若向量a＝(1+2λ，2－3λ)与b＝(4,1)共线，则λ＝________.

解析：依题意得4(2－3λ)－(1+2λ)＝0，由此解得λ＝.

答案：

(理)已知a＝(3,2)，b(－1,2)，(a+λb)⊥b，则实数λ＝________.

解析：∵(a+λb)⊥b，

∴(a+λb)·b＝a·b+λb²＝1+5λ＝0，∴λ＝－.

答案：－

13．已知复数z₁＝m+2i，z₂＝3－4i，若为实数，则实数m＝________.

解析：＝＝＝是实数，∴6+4m＝0，故m＝－.

答案：－

12．设a＝(a₁，a₂)，b＝(b₁，b₂)．定义一种向量积：

ab＝(a₁，a₂) (b₁，b₂)＝(a₁b₁，a₂b₂)．已知m＝，n＝，点P(x，y)在y＝sinx的图象上运动 ，点Q在y＝f(x)的图象上运动，满足＝m+n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最大值A及最小正周期T分别为　　　　　 (　)

A．2，π　 　　　　B．2,4π　　　　 C.，4π　 　　　D.，π

解析：设Q(x₀，y₀)，＝(x₀，y₀)，＝(x，y)，

∵＝m+n，

∴(x₀，y₀)＝?(x，y)+＝+＝，

∴⇒

代入y＝sinx中得，2y₀＝sin，

所以最大值为，周期为4π.

答案：C

11．如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB的三等分点，

M，N是线段AB的三等分点，若OA＝6，

则·的值为　　　　　　　　　 　　　　(　)

A．13　　　 　B．26 　　　　　　C．18　　 　　D．36

解析：·＝(－)·(－)＝·－·－·+·＝6×6cos60°－6×2cos120°－6×2cos120°+2×2cos180°＝26.

答案：B

10．已知非零向量，和满足·＝0，且·＝，则△ABC为　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　)

A．等边三角形 　　　　　　　B．等腰非直角三角形

C．非等腰三角形 　　　　　　D．等腰直角三角形

解析：、、均为单位向量．

由·＝0，得||＝| |.

由·＝1×1×cosC＝，得C＝45°.

故三角形为等腰直角三角形．

答案：D