2.带电粒子在电场中的偏转

例题2.喷墨打印机的结构简图如图3所示，其中墨盒可以发出墨汁微滴，此微粒经过带电室时被带上负电，带电的多少计算机按字体笔画、高低位置输入信号加以控制，带电后的微滴以一定的初速度进入偏转电场发生偏转后打在纸上，显示出字体。无信号输入时，墨汁微滴不带电，径直通过偏转极板而注入回流槽流回墨盒。

设偏转极板长，两板间的距离为，偏转板的右端距纸。若一个墨汁微滴的质量为，以的初速度垂直于电场的方向进入偏转电场，两板间的电压为，若墨汁微滴打到纸上的点距原射入方向的距离是，试求：

⑴这个墨汁微滴通过带电室带的电量是多少？(不计空气阻力和重力，可以认为偏转电场只局限在平行板电容器内部，忽略边缘电场的不均匀性)

⑵为了使纸上的字体放大，请你分析提出至少两种可行的方法。

解析：⑴如图4所示为墨汁微滴通过偏转电场时的情形(放大图)，图中的为墨汁微滴打到纸上的点距原射入方向的距离，而为墨汁微滴离开偏转电场时偏离原来运动方向的夹角，由几何关系及匀变速运动规律得

代入数据，解得　

⑵解以上几式，得

要使字体放大，也就是使上式中的增大，由上式可以看出，可以通过改变、、或来达到预期的目的，如:

①将偏转电场的电压增大，则偏转电压应增大到：

②将(增大，设在不变的情况下，将偏转板的右端距纸的距离增大为，则：

解得　　

命题解读：①这其实就是一个带电粒子在电场中偏转的实际应用题，平常的学习过程中，要学会课本知识和实际生活的结合；②字体放大是指把字体的线度放大，而不是把字体的面积放大放大。

变式训练.如图5所示 ，在水平向右的匀强电场中，有一带电体自点竖直上抛，它的初动能为，当它上升到最高点时动能为，则此带电体折回通过与点在同一水平线上的点时，其动能多大？

解析：此带电体在重力和电场力的共同作用下，在竖直方向上做竖直上抛运动，而在水平方向上做初速度为零的匀变速直线运动，设带电体在点的动能为，到达最高点时的动能为，到达点时的动能为，则

因　　　

故　　　 ︰︰

另外，方向只有重力做功，所以带电体在点时的竖直方向的速度大小与在点时的相等，对应动能的分量也相等。在水平方向上，带电体从点运动到点的过程中，它的动能的变化量之比就等于电场力做功之比，也就是带电体的水平位移之比，即

这样，我们就可以计算出到达点时，带电体的总动能为。

命题解读：①这是一个带电粒子在重力场和电场的复合场中运动的例子，其受力特点决定了它在复合场中的运动轨迹是曲线的，即发生了偏转。②在解决问题时是把带电粒子的运动分解到了两个方向上进行处理的，运用到了运动的合成与分解的知识。前面在解决带电粒子在复合场的运动时，是把重力和电场力的合力等效为“重力场中的重力”来做的，可以回忆一下，具体采用哪种方式要根据具体情况而定。③解题过程中，在轴方向上，巧妙地运用了匀变速直线运动的特殊规律，即初速度为零的匀变速直线运动，相等时间内的位移之比为1︰3︰5︰……。

1.带电粒子在电场中的加速

例题1.电子所带电荷量最早是由美国科学家密立根通过油滴实验测出的。油滴实验的原理图如图1所示，两块水平放置的平行金属板与电源连接，上、下板分别带正、负电荷。油滴从喷雾器的喷嘴喷出后，由于摩擦而带电，油滴进入上板中央小孔后落到匀强电场中，通过显微镜可以观察到油滴的运动情况。两金属板间的距离为，忽略空气对油滴的浮力和阻力。

⑴调节两金属板间的电势差，当时，使得某个质量为的油滴恰好做匀速运动，求该油滴所带电荷量？

⑵若油滴进入电场时的速度可以忽略，当两金属板间的电势差时，观察到某个质量为的油滴进入电场后做匀加速运动，经过一段时间运动到下极板，求此油滴所带的电荷量？

解析：⑴油滴匀速下降过程中受到重力和电场力而平衡，可见其带负电，则

解得　　

⑵油滴加速下滑，若油滴带负电荷，其所受电场力方向向上，设此时油滴的加速度为，则由牛顿第二定律得

而　　　

解得　　

若油滴带正电，其所受电场力方向向下，设此时油滴的加速度为，则由牛顿第二定律得

解得　　

命题解读：这是一个结合物理学史创设物理情景的题目，其特点有：①尽管看上去实验装置有些复杂，但其实质就是带电油滴在一个复合场中受力而平衡或加速运动的问题；②题目中只说“油滴从喷雾器的喷嘴喷出后，由于摩擦而带电”，但并没有说油滴的带电性质，所以可能带负电也可能带正电。

对应训练.为了研究静电除尘，有人设计了一个盒状容器，容器的侧面是绝缘的透明有机玻璃，它的上下底面是面积的金属板，间距，如图2所示，当连接到高压电源正负两极时，能在金属板间产生一个匀强电场。现在把一定量均匀分布的烟尘颗粒密闭在容器内，每立方米有烟尘颗粒个，假设这些颗粒都处于静止状态，每个颗粒带电荷量，质量为，不考虑烟尘颗粒所受重力，求：

⑴经多长时间烟尘颗粒可以被全部吸附？

⑵除尘过程中电场对烟尘颗粒共做了多少功？

⑶经过多长时间容器中烟尘颗粒的总动能达到最大？

解析：⑴由题可知，只要上极板附近的烟尘颗粒能被吸附到下极板，烟尘即认为被全部吸收，由运动学方程，得

烟尘颗粒所受电场力为

由牛顿第二定律得

解以上几式得

=

⑵由于板间的烟尘颗粒均匀分布，可以把板间所有的烟尘颗粒看成一个整体，认为它的质心位于板间中心位置，因此除尘过程中电场力对烟尘颗粒所做的总功为

=

⑶解法(一)：设烟尘颗粒下落距离时，容器内烟尘颗粒的总动能为

当时最大，又因

所以

解法(二)：假定所有烟尘颗粒都集中于极板的中央，故当烟尘颗粒运动到下极板时期总动能最大，则

所以

命题解读：这个题目如果一个分子一个分子地考虑，第二和第三问解答起来是非常的困难，请看下面的解法。本题考查的是带电粒子在电场中的加速问题，是运动学方程和动能定理的综合应用，从上面的第二和第三问的解法(二)可以看出，将所研究的大量烟尘颗粒等效为质点后，使问题的解决大大简化。

5.巧选参照系求解电场中的相对运动问题

例题5.一个质量为的绝缘车静止在光滑的水平面上，在小车的光滑板面上放一质量为、带电量为的带电小物块(可视为质点)，小车质量与物块质量之比︰︰，物块距小车右端挡板的距离为，小车车长为，且，如图10所示。现沿平行于车身的方向加一电场强度为的水平向右的匀强电场，带电小物块由静止开始运动，之后与挡板碰撞，碰后小车速度大小为碰前小物块速度大小的。设小物块滑动及其与小车碰撞过程中，自身带电量不变，则

⑴通过分析和计算说明，碰撞后滑块能否滑出小车的车身？

⑵若能滑出，求小物块开始运动至滑出小车时电场力对小物块所做的功；若不能滑出，求小物块从开始运动至第二次碰撞时电场力对小物块所做的功。

解析：⑴带电小物块由静止开始匀加速向右运动，设它刚要与车相碰时速度为，则由动能定理得

小物块与车的碰撞过程满足动量守恒，设碰撞后小物块速度为，则

解以上两式，得

相对于小车而言，碰撞结束时，物块的速度为

所以以小车为参照系，小物块向左做初速度为、加速度大小为的匀减速运动，显然当其末速度时，物块与挡板相距最远为

　　　　 ＜

上式表明，碰撞后小物块不能滑出小车车身。

⑵以小车为参照系，小物块从第一次碰撞开始到发生第二次碰撞所经历的时间满足

所以　　

而这段时间内小车始终以速度向右做匀速运动，再回到地面参照系中，小车的位移为

因小物块开始运动时距车挡板的距离，故小物块从开始运动到第二次与小车相碰对地的位移为，故电场力对小物块所做的功为

命题解读：本题若以地面为参照系，就要分别求出小物块和小车对地所发生的位移，并找出它们之间的关系，那样可能是非常麻烦的。请仔细体会此题中参照系巧选的奥妙之处。

学法巧手指

山东省临沂市罗庄区第一中学北校区　 桑士华(276016)

4.有关带电粒子的能量变化问题

例题4.一带电液滴在场强为的匀强电场中的运动轨迹如图9中的虚线所示，电场方向竖直向下。若不计空气阻力，则此带电液滴在从运动到的过程中，能量变化情况为

.动能减小，电势能增加

.动能和电势能之和减小

.重力势能和电势能之和增加

.机械能增加

解析：由于曲线运动的轨迹向合力的一侧方向弯曲，由轨迹可以判断带电液滴所受合力竖直向上，电场力竖直向上，且大于重力。由功能关系可以判断得出，带电液滴从运动到的过程中，合力、电场力都做正功，动能增加，电势能减小，故答案错误；在这个过程中，共有三种形式的能量在相互转化，即重力势能、动能和电势能，在相互转化过程中，液滴总的能量是守恒的。重力对液滴做负功，液滴的重力势能增加，故动能和电势能之和应该减小，答案正确。而同时由于带电液滴的动能增加，所以带电液滴的重力势能和电势能之和也应该减小，错误；对于液滴和地球组成的系统而言，由于电场力对液滴做正功，故液滴的机械能是增加的，答案正确。

正确答案为：

命题解读：①该题涉及受力分析、做功以及能量的转化等知识点，考查对基本知识、规律的理解、分析和综合能力；②重力势能的变化看重力做功情况，电势能的变化看电场力做功情况，动能的变化看的则是合外力做功情况，而机械能的变化看的又是重力、弹力之外的力对物体做功的情况。有时能量守恒定律应用起来也是非常方便的，象本题的、答案的判断。

4.带电粒子做曲线运动时的“最高点”或“最低点”

1).根据受力情况判断复合场中带电粒子做圆周运动时的等效“最高点”或“最低点”

例题4.如图5所示，半径为的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一质量为、带正电的珠子，空间存在水平向右的匀强电场，珠子所受的电场力是其重力的。现将珠子从环上的最低位置点由静止释放，则珠子所能获得的最大动能为多少？

解析：设该珠子的带电量为，匀强电场的场强为，珠子从环上的最低点点由静止释放，先做加速运动，设其运动至与圆环的连心连线跟竖直方向的夹角为时，切线方向的合力为零，如图6所示，此时珠子的速度最大、动能最大，此位置即为珠子做圆周运动的等效最低点，此时又有

由动能定理可得

而　　　

解以上三式，得

命题解读：①该例是带电粒子在重力场和电场的复合场中的圆周运动问题，因重力和电场力均为恒力，故常用动能定理求解该问题；②由于重力和电场力均为恒力，它们的合力一定也是恒力，可以将它们的合力看成“等效重力”，按竖直方向的圆周运动来处理。其实本题的图5中，重力和电场力的合力方向(图中的虚线所示的方向)就是“等效重力”的方向。这类问题解题的关键就是要确定出“等效最低点”和“等效最高点”，象本题中，与“等效最低点”关于圆心对称的位置就是圆周运动的“等效最高点”。

2).根据力做功情况分析带电粒子“最高点”的位置

例题5.如图7所示，一个带电量为的小油滴从原点点出发，以速度射入水平向右的匀强电场中，的方向与水平方向的夹角为，已知油滴质量为，重力加速速度为，当油滴到达轨迹的最高点时，速度大小又恰好为，试问：

⑴油滴所到达的最高点在轴的右侧还是左侧？并求出最高点的坐标及电场强度的大小。

⑵最高点与点的电势差的大小。

解析：⑴带电量为的小油滴从原点点出发后，只受重力和电场力作用，达到最高点时的速度又恰好为零，故整个过程中动能变化量为零，即合外力做功为零。而重力对小油滴做负功，所以电场力一定对油滴做正功，因为油滴带负电，所以它最高点的位置一定在轴的左侧某一位置。

将油滴的初速度进行正交分解，如图8所示，显然，油滴在轴和轴方向做的都是匀变速运动，则

轴方向：　

轴方向：　

从油滴开始运动到达到最高点，由动能定理得

解以上几式，得

⑵根据匀强电场中场强和电势差的关系，最高点与点的电势差的大小为

命题解读：此带电油滴发生的运动是一个匀变速曲线运动，是一个稍微复杂一点的运动形式。可将初速度分解后可以看出，此油滴参与的这两个分运动都是我们熟知的匀变速直线运动，用匀变速直线运动的规律都可以顺利解决，要学会这种将复杂运动进行分解的方法。

3.是正电荷在移动？还是自由电子在移动？

例题3.如图4所示，为验电器，带正电，现在用一带正电的金属棒去靠近(不接触)验电器，则发生的现象是

.验电器的箔片张开的角度变大

.验电器的箔片张开的角度变小

.验电器的箔片张开的角度不变

.验电器的箔片张开的角度可能变大也可能变小

这是一个很简单的问题，其实就是静电感应、自由电荷移动的判断问题，正确的答案是。但在解释为什么是时，不同的人却给出了不同的解释,请看：

解释(一):因为验电器和金属棒都带正电，根据“同种电荷相互排斥”的结论，验电器上端金属球所带的正电荷有一部分会被排斥到下端，所以箔片张开的角度要变大，答案为。

解释(二)：因为金属棒带正电荷，根据“异种电荷相互吸引”的结论，验电器下端的一部分自由电子会被吸引到上端的金属球上，使得下端的正电荷增多，所以验电器的箔片张开的角度要变大，答案正确。

两种不同的解释却得出了同样的答案，难道两种解释真的都是正确的吗？不是的，第一种解释是错误的！大家都知道，组成物质的原子中有带正电的原子核和带负电的自由电子，自由电子是可以自由移动的，而原子核只能在自己的平衡位置附近来回振动。上面的题目中，当带正电的金属棒去靠近验电器时，只能是验电器下端的自由电子向上移动，故解释(一)是错误的。平常的学习过程中，结论可以用，但不要乱用，要注重事实！

2.“等效点电荷”的应用

例题2.一半径为的绝缘球壳上均匀带有电荷量为的电荷，另一电荷量为的点电荷放在球心上，由于对称性，点电荷受力为零。现在在球壳上挖去一半径为(≪)的小圆孔，则此时球心处的点电荷所受的电场力大小为＿＿＿＿＿＿，方向为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。(已知静电力恒量为)

解析：根据题意画出带电球壳，并且画出了小圆孔的放大图，如图3所示。

因为≪，所以可以把挖去的那部分球壳近似看成半径为的圆面，又因球壳均匀带电，故其带电量为

也是因为≪，所以挖去前的这小部分带电球壳可以近似看成点电荷，整个带电球壳可以看成无数这样的“点电荷”，由于对称性，使得处在球心处的点电荷所受电场力为零。

挖去半径为的小圆孔后，除原来与挖去的这个“点电荷”对称的部分外，其余的“点电荷”都还能找到与其对称的“点电荷”，故此时球心处的场强大小就等于与挖去的这个“点电荷”对称的部分产生的场强，即

　　　　 ，方向由球心指向小孔。

故球心处的点电荷所受电场力大小为

　　　　 ，方向由球心指向小孔。

命题解读：抓住≪这一条件，把整个的带电球壳看成无数个小的带电体(即“点电荷”)是解决这一问题的关键所在。

1.三个电荷平衡的问题

例题1.今有两固定点电荷和，，，相距为，另有可以自由移动的点电荷，。欲把点电荷放在适当的位置而受力平衡，应放在何处？

解析：由数学知识可知，不论把点电荷放在何位置，、和一定在同一平面上。由于点电荷仅受两个库仑力，故点电荷一定是被放在点电荷和所在的直线上。又因为点电荷和都带正电，而带负电，经分析可知应将放置在点电荷、之间，如图1所示。设、之间的距离为，由库仑定律和共点力作用下物体的平衡条件，得　　

即　　　

解得　　 ，(舍去)

故，应把点电荷放在和之间，且距点电荷处。

深入思考：

⑴如果把上题中的点电荷换成一个与带等量异种电荷的点电荷呢？

　答案：仍然是放在所在的位置

⑵本题中只是要求点电荷受力平衡，请仔细看一下，其它的两个点电荷和是否也受力平衡呢？

答案是否定的，很明显，单看点电荷的受力就是不平衡的。原因如下：

因为点电荷受力已经平衡，即

如图2为此时点电荷的受力情况分析，其中　　　

而　　　 ＜

即　　　 ＜

所以点电荷的受力是不平衡的。

⑶那么，如何才能使三个点电荷都受力平衡呢？

要想使三个点电荷都受力平衡的话，只要能保证其中的两个受力平衡就可以了。因为点电荷已经受力平衡，和点电荷、一样其位置不能再动，要想使点电荷也受力平衡的话，从上面的表达式可以看出，只有将点电荷所带的电荷量适当增大才行。即，点电荷、和在图2所示的位置上平衡时，它们所带电荷量之间的关系是＞＞。

命题解读：带电体受力平衡或非平衡的问题，和一般物体的受力平衡或非平衡问题是一样的，以前所讲过的力的合成与分解、共点力作用下物体的平衡条件以及牛顿第二定律等力学规律都是适用的。这类问题不麻烦，其解题思路一般是先根据带电体的受力情况分析考虑点电荷放置的位置，然后根据共点力作用下物体的平衡条件列出方程即可求解。